Question

【題目】定義：點P是四邊形ABCD內一點，若三角形△PAB，△PBC，△PCD，△PDA均為等腰三角形，則稱點P是四邊形ABCD的一個“準中心”，如，正方形的中心就是它的一個“準中心”．

（1）如圖，已知點P是正方形ABCD內的一點，且∠PBC＝∠PCB＝60°，證明點P是正四邊形ABCD的一個“準中心”；

（2）填空：正方形ABCD共有　 　個“準中心”；

（3）已知∠BAD＝60°，AB＝AD＝6，點C是∠BAD平分線上的動點，問在四邊形ABCD的對角線AC上最多存在幾個“準中心”點P（自行畫出示意圖），并求出每個“準中心”點P對應線段AC的長（精確到個位）．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）5；（3）在四邊形ABCD的對角線AC上最多存在3個“準中心”點P；AC長為4或9或16．

【解析】

（1）根據正方形的性質，利用已知條件，即可解答；

（2）根據 “準中心”的定義即可求解；

（3）在四邊形ABCD的對角線AC上最多存在3個“準中心”點P；分三種情況討論：

①如圖1，當PA＝PB＝PC＝PD時，點P是“準中心”點，

②如圖2，當PA＝BA＝DA，PB＝PC＝PD時，點P是“準中心”點，

③如圖3，當AB＝PB＝PC＝PD＝AD時，點P是“準中心”點，

利用角平分線的性質、等腰三角形的性質和解直角三角形，即可求出AC的長．

（1）∵ABCD為正方形，

∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，AB＝BC＝CD，

又∵∠PBC＝∠PCB＝60°，

∴∠BPC＝60°，

∴PB＝PC＝BC＝AB＝CD，

∴PA＝PD，

∴△PAB，△PBC，△PCD，△PDA均為等腰三角形，

∴點P是正方形ABCD的一個“準中心”．

（2）由（1）可知正方形ABCD有4個這樣的“準中心”，再加上對角線的交點，即為5個“準中心”，

故答案為：5；

（3）在四邊形ABCD的對角線AC上最多存在3個“準中心”點P；

①如圖1，當PA＝PB＝PC＝PD時，點P是“準中心”點，

∵∠BAD＝60°，點C是∠BAD平分線上，

∴∠BAC＝30°，

∴∠ACB＝∠BPC＝60°，∠ABC＝90°，

則AC＝．

②如圖2，當PA＝BA＝DA，PB＝PC＝PD時，點P是“準中心”點，

則PA＝6，

∵∠BAD＝60°，點C是∠BAD平分線上，

∴∠BAC＝30°，

∴∠APB＝75°，

∴∠PCB＝＝37.5°，

作BE⊥AC于點E，

在Rt△AEB中，BE＝AB＝3，AE＝AB，

在Rt△CEB中，CE＝，

∴AC＝AE+CE＝．

③如圖3，當AB＝PB＝PC＝PD＝AD時，點P是“準中心”點，

此時四邊形ABPD是菱形，連接BD，

則PA＝2AE＝2ABcos30°＝，

∴AC＝PA+PC＝．

綜上，在四邊形ABCD的對角線AC上最多存在3個“準中心”點P；AC長為4或9或16．