Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點H，過CD的延長線上一點E作⊙O的切線交AB的延長線于點F，切點為點G，連接AG交CD于點K．

（1）求證：△EKG是等腰三角形；

（2）若KG2＝KDGE，求證：AC∥EF；

（3）在（2）的條件下，若tanE＝，AK＝2，求FG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）連接OG，證得∠KGE=∠AKH=∠GKE，可得KE=GE．則結論得證；
（2）連接GD，證明△GKD∽△EGK．得出∠E=∠AGD．則∠E=∠C，結論得證；
（3）連接OG，OC，設AH=3t，CH=4t，則AC=5t．由勾股定理得出(3t)2+t2＝(2)2，解得t=2，則AH=6，CH=8．⊙O的半徑為r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r-6，CH=8，由勾股定理得出（r-6）2+82=r2，解得r=．求出OG，可求出FG的長．

（1）證明：如圖1，連接OG，

∵EG為⊙O的切線，
∴∠KGE+∠OGA=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠AKH+∠OAG=90°．
又∵OA=OG，
∴∠OGA=∠OAG．
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，
∴KE=GE．
∴△EKG是等腰三角形．
（2）證明：如圖2，連接GD，

∵KG2=KDGE，
∴．
又∵∠KGE=∠GKE，
∴△GKD∽△EGK．
∴∠E=∠AGD．
又∠C=∠AGD，
∴∠E=∠C．
∴AC∥EF．
（3）解：如圖3，連接OG，OC，

由tanE=tan∠ACH=，可設AH=3t，CH=4t，則AC=5t．
∵KE=GE，AC∥EF，
∴CK=AC=5t，
∴HK=CK-CH=t．
在Rt△AHK中，根據勾股定理得AH2+HK2=AK2，
即(3t)2+t2＝(2)2，
解得t=2或t=-2（不合題意，舍去）．
∴AH=6，CH=8．
設⊙O的半徑為r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r-6，CH=8，
由勾股定理得OH2+CH2=OC2，
即（r-6）2+82=r2，
解得r=．
∵EF為⊙O的切線，
∴△OGF為直角三角形．
在Rt△OGF中，OG=r=，
∵tan∠OFG=tan∠CAH= ，

∴FG＝．