Question

如圖，AB、BC、CD分別與⊙O相切于點E、F、G，若∠BOC=90°，
（1）求證：AB∥CD；
（2）若OB=3，OC=4，求由BE、BC、CG、及弧EFG圍成圖形的面積（即圖中陰影部分）．

Answer 1

分析：（1）由∠BOC為直角，根據直角三角形的兩個銳角互余可得∠OBC與∠OCB互余，又BE與BF為圓的兩條切線，根據切線長定理可得BO為∠EBF的平分線，同理可得CO為∠FCG的平分線，根據角平分線定義分別得到兩對角相等，根據等量代換可得∠EOB與∠OCG也互余，可得四個角相加為180°，即同旁內角互補，根據同旁內角互補兩直線平行可得證；
（2）連接OE，OF，OG，由AB，BC及CD為圓的切線，可得OE與AB垂直，OF與BC垂直，OG與CD垂直，再根據切線長定理可得BE=BF，又OB=OB，利用HL可得直角三角形OEB與直角三角形OFB全等，可得扇形OEM與扇形OFM的圓心角相等，又半徑相等，可得這兩個扇形面積相等，同時三角形OEB與三角形OFB全等，利用等式的基本性質可得陰影BEM與陰影BFM面積相等，同理可得陰影NCF與陰影NCG面積相等，故用2（三角形OBC的面積減去扇形OMN的面積）可求出陰影部分的面積，而三角形OBC的面積等于兩直角邊乘積的一半求出，扇形OMN的圓心角為直角，半徑為直角三角形斜邊上的高，利用扇形面積求出，將求出的面積代入即可求出所求陰影部分的面積．

解答：解：（1）∵∠BOC=90°，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
又BE與BF為圓O的切線，
∴BO為∠EBF的平分線，
∴∠OBC=∠OBF，
同理可得∠OCB=∠OCG，
∴∠OBF+∠OCG=90°，
∴∠OBC+∠OCB+∠OBE+∠OCG=180°，
即∠ABF+∠DCF=180°，
∴AB∥CD；

（2）連接OE，OF，OG，如圖所示：

由BE和BF為圓的切線，
可得OE⊥AB，OF⊥BC，即∠OEB=∠OFB=90°，
∴BE=BF，又OB=OB，
∴Rt△OEB≌Rt△OFB（HL），
∴∠BOE=∠BOF，S_△OEB=S_△OFB，
∴S_扇形OEM=S_扇形OFM，
∴S_△OEB-S_扇形OEM=S_△OFB-S_扇形OFM，
即S_陰影BEM=S_陰影BFM，
同理S_陰影NFC=S_陰影NCG，
由∠BOC=90°，OB=3，OC=4，
根據勾股定理得：BC=5，
∵BC為圓的切線，∴OF⊥BC，
∴

1

2

OB•OC=

1

2

BC•OF，即OF=

12

5

，
∴S_△BOC=

1

2

OB•OC=6，
S_扇形OMN=

90π×( 12 5 )2

360

=

36π

25

，
則陰影部分面積S=2（S_陰影BFM+S_陰影NFC）
=2（S_△BOC-S_扇形OMN）=12-

72π

25

．

點評：此題考查了切線長定理，切線的性質，平行線的判定，勾股定理，直角三角形全等的判定與性質，以及扇形的面積計算，其中切線長定理是過圓外一點作圓的兩條切線，切線長相等，且此點與圓心的連線平分兩切線的夾角，熟練掌握此性質是解本題的關鍵，同時注意不規則陰影圖形面積的求法主要利用轉化的思想來解決．