Question

【題目】如圖，若b是正數．直線l：y＝b與y軸交于點A，直線a：y＝x﹣b與y軸交于點B；拋物線L：y＝﹣x2+bx的頂點為C，且L與x軸右交點為D．

(1)若AB＝6，求b的值，并求此時L的對稱軸與a的交點坐標；

(2)當點C在l下方時，求點C與l距離的最大值；

(3)設x0≠0，點(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分別在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均數，求點(x0，0)與點D間的距離；

(4)在L和a所圍成的封閉圖形的邊界上，把橫、縱坐標都是整數的點稱為“美點”，分別直接寫出b＝2019和b＝2019.5時“美點”的個數．

Answer 1

【答案】（1）L的對稱軸x＝1.5，L的對稱軸與a的交點為(1.5，﹣1.5 )；（2）1；（3）；（4）b＝2019時“美點”的個數為4040個，b＝2019.5時“美點”的個數為1010個．

【解析】

(1)當x＝0時，y＝x﹣b＝﹣b，所以B (0，﹣b)，而AB＝6，而A(0，b)，則b﹣(﹣b)＝6，b＝3．所以L：y＝﹣x2+3x，對稱軸x＝1.5，當x＝1.5吋，y＝x﹣3＝﹣1.5，于是得到結論．

(2)由y＝﹣(x﹣)2+，得到L的頂點C(，)，由于點C在l下方，于是得到結論；

(3)由題意得到y3＝，即y1+y2＝2y3，得b+x0﹣b＝2(﹣x02+bx0)解得x0＝0或x0＝b﹣．但x0≠0，取x0＝b﹣，得到右交點D(b，0)．于是得到結論；

(4)①當b＝2019時，拋物線解析式L：y＝﹣x2+2019x直線解析式a：y＝x﹣2019，美點”總計4040個點，②當b＝2019.5時，拋物線解析式L：y＝﹣x2+2019.5x，直線解析式a：y＝x﹣2019.5，“美點”共有1010個．

解：(1)當x＝0時，y＝x﹣b＝﹣b，

∴B (0，﹣b)，

∵AB＝6，而A(0，b)，

∴b﹣(﹣b)＝6，

∴b＝3．

∴L：y＝﹣x2+3x，

∴L的對稱軸x＝1.5，

當x＝1.5吋，y＝x﹣3＝﹣1.5，

∴L的對稱軸與a的交點為(1.5，﹣1.5 )；

(2)y＝﹣(x﹣)2+

∴L的頂點C(img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2020/11/27/16/06e66ec6/SYS202011271613427160598622_DA/SYS202011271613427160598622_DA.002.png" width="16" height="41" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />，)，

∵點C在l下方，

∴C與l的距離b﹣＝﹣ (b﹣2)2+1≤1，

∴點C與1距離的最大值為1；

(3)由題意得y3＝，即y1+y2＝2y3，

得b+x0﹣b＝2(﹣x02+bx0)

解得x0＝0或x0＝b﹣．但x0≠0，取x0＝b﹣，

對于L，當y＝0吋，0＝﹣x2+bx，即0＝﹣x(x﹣b)，

解得x1＝0，x2＝b，

∵b＞0，

∴右交點D(b，0)．

∴點(x0，0)與點D間的距離b﹣(b﹣)＝；

(4)①當b＝2019時，拋物線解析式L：y＝﹣x2+2019x，

直線解析式a：y＝x﹣2019

聯立上述兩個解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019，

∴可知每一個整數x的值都對應的一個整數y值，且﹣1和2019之間(包括﹣1和﹣2019)共有2021個整數；

∵另外要知道所圍成的封閉圖形邊界分兩部分：線段和拋物線，

∴線段和拋物線上各有2021個整數點，

∴總計4042個點，

∵這兩段圖象交點有2個點重復，

∴美點”的個數：4042﹣2＝4040(個)；

②當b＝2019.5時，

拋物線解析式L：y＝﹣x2+2019.5x，

直線解析式a：y＝x﹣2019.5，

聯立上述兩個解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019.5，

∴當x取整數時，在一次函數y＝x﹣2019.5上，y取不到整數值，因此在該圖象上“美點”為0，

在二次函數y＝x2+2019.5x圖象上，當x為偶數時，函數值y可取整數，

可知﹣1到2019.5之 間有1010個偶數，因此“美點”共有1010個．

故b＝2019時“美點”的個數為4040個，b＝2019.5時“美點”的個數為1010個．