Question

如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=4，D是BC邊上一動點，G是BC邊上的一動點，GE∥AD分別交AC、BA或其延長線于F、E兩點

（1）如圖1，當BC=5BD時，求證：EG⊥BC；

（2）如圖2，當BD=CD時，FG+EG是否發生變化？證明你的結論；

（3）當BD=CD，FG=2EF時，DG的值=　　　　　　．

　

Answer 1

【考點】相似形綜合題．

【分析】（1）利用勾股定理得出BC，進一步求得BD，根據“SAS”證得△BDA∽△BAC，得出∠BDA=∠BAC=90°，EG∥AD，進一步得出結論；

（2）當BD=CD時，FG+EG=2不發生變化，利用△CFG∽△CAD，△ABD∽△AGE求得結論成立（也可作出輔助線，輔助線多種作法求得結論）；

（3）分兩種情況：F在CA的延長線上和E在BA的延長線上，由此畫出圖形，利用相似得出結論．

【解答】證明：（1）如圖1，

∵∠BAC=90°，AB=2，AC=4，

∴BC=2，

∵BC=5BD，

∴BD=，

∴==

又∵∠DBA=∠ABC，

∴△BDA∽△BAC，

∴∠BDA=∠BAC=90°，

∵EG∥AD，

∴EG⊥BC．

（2）FG=EG=2不變，

證法1：如圖2，

∵EG∥AD，

∴△CFG∽△CAD，

∴=，

同理=，

∵BD=CD，

∴+=+=2，

∴EG+FG=2AD，

∵BD=CD，∠BAC=90°，

∴AD=BC=，

∴EG+FG=2AD=2．

證法2：如圖3，

取EF的中點，易證四邊形ADGH是平行四邊形，

得出EG+FG=2GH=2AD=2．

證法3：如圖4，

中線AD加倍到M，易證四邊形AMNE是平行四邊形，

得出EG+FG=EN=AM=2AD=2．

（3）如圖5，

當BD=CD，FG=2EF時，

則GE=EF，

∵GE∥AD，AD∥GF，

∴△CFG∽△CAD，△ABD∽△BGE，

∴=， =，

∴==；

又BG+CG=2，

∴BG=，

∴DG=BD=BG=；

如圖6，

當BD=CD，FG=2EF時，

則GE=EF，

∵GE∥AD，AD∥GF，

∴△CFG∽△CAD，△ABD∽△AGE，

∴=， =，

∴==；

又BG+CG=2，

∴CG=，

∴DG=CD﹣CG=．

綜上所知DG為或．

【點評】此題考查相似的綜合，勾股定理的運用，相似三角形的判定與性質，關鍵在于結合題意，分類畫出圖形，探討問題的答案．