Question

己知：如圖，AB是半圓O的直徑，弧AC與弧BD相等，直線CM、DN分別切半圓于點C、D，且分別和直線AB相交于點M、N．
（1）MO與NO相等嗎？為什么？
（2）若∠M=30°，試探索線段MN和線段CD的關系．

Answer 1

證明：（1）連接CO、DO．
∵MC、ND是⊙O的切線，
∴OC⊥CM，OD⊥DN，
∴∠MCO=∠NDO=90°．
又∵弧AC與弧BD相等，
∴∠AOC=∠BOD，即∠MOC=∠NOD
在△MCO和△NDO中，
∵，
∴△MCO≌△NDO（ASA）．
∴MO=NO（全等三角形的對應角相等）．

（2）MN=4CD．理由如下：
∵∠M=30°，
∴∠AOC=60°．
又∵AB∥CD，
∴∠OCD=60°．
∴△OCD為等邊三角形．
∴CD=OC．
又∵Rt△MCO中，OC=OA，∠M=30°，
∴MA=AO=OC．
同理可得NB=OB=OC，
∴MN=4CD．
分析：（1）連接CO、DO，易證△MCO≌△NDO，故MO=NO；
（2）先證△OCD為等邊三角形，CD=OC，Rt△MCO中，OC=OA，∠M=30°，故MA=AO=OC，同理可得NB=OB=OC，故MN=4CD．
點評：本題綜合考查了切線的性質，全等三角形的判定，等邊三角形的性質及平行線的性質．解答這類題一些學生不會綜合運用所學知識解答問題，不知從何處入手造成錯解．