Question

已知：如圖，AB是半圓的直徑，AB=10，梯形ABCD內接于半圓，CE∥AD交AB于E，BE=2，求∠A的余弦值．

Answer 1

分析：根據平行線所夾的弧相等得到弧AD=弧BC，再根據在同圓中弧相等弦相等得到AD=BC，則四邊形AECD為平行四邊形，得到CD=AE=AB-BE=8．設圓心為O，作OG⊥CD于G，連OC，根據垂徑定理得到DG=CG=4，利用勾股定理計算出OG，作DF⊥OA于F，則DF=OG=3，利用等腰梯形的性質計算出AF，再根據勾股定理求出AD，最后利用余弦的定義求解即可．

解答：解：連OD，如圖，
∵四邊形ABCD為梯形，
∴CD∥AB，
∴∠AOD=∠ODC，∠BOC=∠OCD，
而∠ODC=∠OCD，
∴∠AOD=∠BOC，
∴弧AD=弧BC，
∴AD=BC
又∵CE∥AD，
∴四邊形AECD為平行四邊形，
∴CD=AE=AB-BE=8
設圓心為O，作OG⊥CD于G，連OC，
∴DG=CG=4．
∴OG=

OC2-CG2

=3．
作DF⊥OA于F，則DF=OG=3，
AF=OA-OF=OA-DG=1．
∴AD=

AF2+DF2

=

10

．
∴∠A的余弦：cosA=

1

10

=

10

10

．

點評：本題考查了圓心角、弧、弦的關系；也考查了垂徑定理和勾股定理以及等腰梯形的性質．