Question

3．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，連接EF交AD于G．下列結論：①AD垂直平分EF；②EF垂直平分AD；③AD平分∠EDF；④當∠BAC為60°時，AG=3DG，其中不正確的結論的個數為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據角平分線性質求出DE=DF，證△AED≌△AFD，推出AE=AF，再逐個判斷即可．

解答 解：∵AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，∠ADE=∠ADF，
∴AD平分∠EDF；③正確；
∵AD平分∠BAC，
∵AE=AF，DE=DF，
∴AD垂直平分EF，①正確；②錯誤，
∵∠BAC=60°，
∴∠DAG=30°，
∴AG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AE，AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$AE，
∴DG=$\frac{\sqrt{3}}{6}$AE，
∴AG=3DG，④正確．
故選A．

點評 本題考查了全等三角形的性質和判定，正方形的判定，角平分線性質的應用，能求出Rt△AED≌Rt△AFD是解此題的關鍵．