Question

【題目】 在平面直角坐標系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的實數根.比如對于方程，操作步驟是：

第一步：根據方程的系數特征，確定一對固定點；

第二步：在坐標平面中移動一個直角三角板，使一條直角邊恒過點，另一條直角邊恒過點；

第三步：在移動過程中，當三角板的直角頂點落在軸上點處時，點的橫坐標即為該方程的一個實數根（如圖1）；

第四步：調整三角板直角頂點的位置，當它落在軸上另—點處時，點的橫坐標即為該方程的另一個實數根.

（1）在圖2中，按照“第四步”的操作方法作出點（請保留作出點時直角三角板兩條直角邊的痕跡）；

（2）結合圖1，請證明“第三步”操作得到的就是方程的一個實數根；

（3）上述操作的關鍵是確定兩個固定點的位置，若要以此方法找到一元二次方程的實數根，請你直接寫出一對固定點的坐標；

（4）實際上，（3）中的固定點有無數對，一般地，當與之間滿足怎樣的關系時，點就是符合要求的—對固定點？

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析（2）證明見解析（3）A（0，1），B（-，）或A（0，），B（-，c）等（4）m1+m2=-，m1m2+n1n2=.

【解析】

試題分析：（1）根據題目中給的操作步驟操作即可得出圖2中的圖.

（2）在圖1中，過點B作BD⊥x軸，交x軸于點D.依題意可證△AOC∽△CDB.然后根據相似三角形對應邊的比相等列出式子，化簡后為m2-5m+2=0，從而得證。

（3）將方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化為x2+x+=0.模仿研究小組作法即可得答案。

（4）以圖3為例：P（m1,n1）Q（m2,n2）,設方程的根為x，根據三角形相似可得..化簡后為x2-(m1+m2）x+m1m2+n1n2=0.又x2+x+=0.再依據相對應的系數相等即可求出。

試題解析：（1）解：如圖2所示：

（2）證明：在圖1中，過點B作BD⊥x軸，交x軸于點D.

根據題意可證△AOC∽△CDB.

∴.

∴.

∴m（5-m）=2.

∴m2-5m+2=0.

∴m是方程x2-5x+2=0的實數根.

（3）解：方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化為

x2+x+=0.

模仿研究小組作法可得：A（0，1），B（-，）或A（0，），B（-，c）等.

（4）解：以圖3為例：P（m1,n1）Q（m2,n2）,

設方程的根為x，根據三角形相似可得.

上式可化為x2-(m1+m2）x+m1m2+n1n2=0.

又ax2+bx+c=0,

即x2+x+=0.

比較系數可得：m1+m2=-.

m1m2+n1n2=.