Question

已知：⊙O是△ABC的外接圓，點M為⊙O上一點．
（1）如圖，若△ABC為等邊三角形，BM=1，CM=2，求AM的長；
（2）若△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，BM=a，CM=b（其中b＞a），直接寫出AM的長（用含有a，b的代數式表示）．

Answer 1

（1）解：延長MB至點E，使BE=MC，連接AE，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，
∵四邊形ABMC是⊙O的內接四邊形，
∴∠ABE=∠ACM，
在△AEB和△AMC中
，
∴△AEB≌△AMC，
∴∠AEB=∠AMC，
∵∠AMC=∠ABC（在同圓中，同弧所對的圓周角相等），
∴∠AEB=∠ABC，
∵∠AME=∠ACB（在同圓中，同弧所對的圓周角相等），
又∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEB=∠AME=60°，
∴△AEM是等邊三角形，
∴AM=ME=MB+BE，
∵BE=MC，
∴MB+MC=MA=1+2=3．
即AM的長是3．

（2）解：分為兩種情況：①如圖，AM==（a+b），
理由是：延長MB至點E，使BE=MC，連AE，
由（1）知：∠ABE=∠ACM，
在△ABE和△ACM中
，
∴△ABE≌△ACM，
∴AM=AE，∠E=∠AMC，
∵∠AMC=∠ABC=45°，∠AMB=∠ACB=45°，
∴∠E=∠AMB=45°，
∴∠EAM=90°，
在△EAM中，ME=MB+BE=MB+CM=a+b，AE=AM，
由勾股定理得：AM==（a+b），
即AM==（a+b）．
②如圖，
在CM上截取CN=BM，連接AN，
∵∠ABM所對的弧和∠ACN所對的弧都是弧AM，
∴∠ABM=∠ACN，
在△ABM和△ACN中
，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴AM=AN，∠BAM=∠CAN，
∵∠BAC=∠BAN+∠CAN=90°，
∴∠BAN+∠BAM=90°，
∴∠MAN=90°，
則△MAN是等腰直角三角形，
∵MN=CM-CN=CM-BM=b-a，
由勾股定理得：AM=AN==（b-a），
即AM=（b-a）．
即AM的長是（a+b）或（b-a）．
分析：（1）延長MB至點E，使BE=MC，連AE，根據等邊三角形性質求出AC=AB，根據圓內接四邊形的性質推出∠ABE=∠ACM，證△ABE≌△ACM，推出AM=AE，證等邊三角形AEM，推出AE=AM=ME，即可推出答案；
（2）分為兩種情況，畫出圖形，延長MB至點E，使BE=MC，連AE，根據等腰直角三角形性質推出AB=AC，根據SAS證△ABE≌△ACM，推出AM=AE，∠E=∠AMC=45°，∠AMB=45°，求出△EAM是等腰直角三角形，根據勾股定理求出即可．
點評：本題考查了等腰直角三角形，勾股定理，全等三角形的性質和判定，等邊三角形性質，圓周角定理，圓內接四邊形性質等知識點的運用，關鍵是正確作輔助線推出AM=BM+CM，兩小題證明過程類似，都是通過作輔助線把AM、BM、CM放在一個三角形中，求出三者之間的關系，題目比較好，有一點難度．