Question

若對0＜x＜3上的一切實數x，不等式（m-2）x＜2m-1恒成立，則實數m的取值范圍是（　　）

• A．

  1

  2

  ＜m＜5
• B．

  1

  2

  ≤m≤5
• C．

  1

  2

  ＜m＜

  5

  4

• D．

  1

  2

  ≤m≤

  5

  4

Answer 1

分析：先變形（m-2）x＜2m-1得到（x-2）m＜2x-1，討論：當0＜x＜2，m＞

2x-1

x-2

，即m＞2+

3

x-2

；當x=2時，（x-2）m＜2x-1恒成立；當2＜x＜3時，m＜

2x-1

x-2

，即m＜2+

3

x-2

，而對0＜x＜3上的一切實數x，不等式（m-2）x＜2m-1恒成立，當x=0，m取最小值

1

2

，x=3時，m取最大值5，然后綜合得到m的范圍．

解答：解：（m-2）x＜2m-1變形得（x-2）m＜2x-1，
當0＜x＜2，m＞

2x-1

x-2

，即m＞2+

3

x-2

，
∵對0＜x＜3上的一切實數x，不等式（m-2）x＜2m-1恒成立，
∴x=0，m取最小值，m≥2-

3

2

，即m≥

1

2

；
當x=2時，（x-2）m＜2x-1恒成立，
當2＜x＜3時，m＜

2x-1

x-2

，即m＜2+

3

x-2

，
∴x=3時，m取最大值，m≤2+3，即m≤5，
∴實數m的取值范圍是

1

2

≤m≤5．
故選B．

點評：本題考查了解一元一次不等式：根據不等式的性質先去括號（或去分母），再把含未知數的項移到不等式的左邊，常數項移到右邊，合并同類項后，然后把未知數的系數化為1即可．