Question

矩形折疊問題：如圖所示，把一張矩形紙片沿對角線折疊，重合部分是什么圖形，試說明理由．
（1）若AB=4，BC=8，求AF．
（2）若對折使C在AD上，AB=6，BC=10，求AE，DF的長．

Answer 1

解：（1）如圖1，由折疊的性質可知AB=CD=C′D，
又∠A=∠C′=90°，∠AFB=∠C′FD，
∴△ABF≌△C′DF，
∴BF=DF，
∴重合部分△BDF為等腰三角形；
設AF=x，則BF=DF=8-x，在Rt△ABF中，
由勾股定理得AB²+AF²=BF²，即4²+x²=（8-x）²，
解得AF=x=3；

（2）如圖2，由折疊的性質可知BE=BC=10，又AB=6，
在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE==8；
設DF=x，由折疊的性質得EF=FC=6-x，DE=AD-AE=2，
在Rt△DEF中，由勾股定理得DE²+DF²=EF²，即2²+x²=（6-x）²，
解得DF=x=．
分析：（1）如圖1，由折疊的性質可證△ABF≌△C′DF，可得BF=DF，可判斷重合部分為等腰三角形；設AF=x，則BF=DF=8-x，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AF；
（2）如圖2，由折疊的性質可知BE=BC=10，又AB=6，在Rt△ABE中，由勾股定理可求AE，設DF=x，由折疊的性質得EF=FC=6-x，在Rt△DEF中，由勾股定理可求DF．
點評：本題考查了折疊的性質，三角形全等的判定與性質，勾股定理的運用．關鍵是根據折疊的性質將有關線段轉化，把問題集中到直角三角形中解題．