Question

【題目】已知矩形中，，，點是邊上一點，，連接.

（1）沿翻折使點落在點處，

①連接，若，求的值；

②連接，若，求的取值范圍.

（2）繞點順時針旋轉得，點落在邊上時旋轉停止. 若點落在矩形對角線上，且點到的距離小于時，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）①2;②;（2）.

【解析】

（1）①由CF∥AE可得內錯角和同位角相等，由翻折有對應角相等，等量代換后出現等腰三角形，即可求出m值；②過點F作GH⊥AD于點G，交BC于點H，根據相似三角形的對應邊成比例求翻折后AG和FG的長度，再根據勾股定理列出DF2與m的二次函數關系根據拋物線的性質求出自變量m的范圍；

（2）過點B1作MN⊥AD于點M,交BC于點N，由△AMB1∽△CBA得出對應邊成比例列出比例式，用含m的式子表示B1M,根據題意求出m的范圍，再根據當E1落在AD上時，此時m最大，根據△AB1E1∽△ABE求出m的最大值，從而確定m的取值范圍.

解：（1）①如圖，

∵CF∥AE,

∴∠FCE=∠AEB, ∠CFE=∠AEF,

∵△ABE翻折得到△AFE,

∴EF=EB=1，∠AEF=∠AEB,

∴∠ECF=∠EFC,

∴CE=EF=1，

∴m=BC=BE+CE=2.

②如圖，過點F作GH⊥AD于點G，交BC于點H，

∴∠AGH=∠GHB=∠B=90°,

∴四邊形AGHB是矩形,

∴AG=BH,GH=AB=2，

由折疊可知，∠B=∠AFE=90°,BE=FE=1，AF=AB=2，

∵∠GAF+∠AFG=90°, ∠AFG+∠EFH=90°,

∴∠GAF=∠EFH,

∴△AGF∽△HFE,

∴ ,

設AG=a,GF=b,則有，

，

解得:a= ,b= ,

∵AD=BC=m,

∴DG== ，

∴DF2=DG2+FG2== ，

∴DF2與m成二次函數關系，且拋物線開口向上，當m=時，DF2有最小值為 ，

∵，

∴，

當時，

解得m1=1,m2=，

∴由二次函數圖象的性質可得， .

（2）如圖，過點B1作MN⊥AD于點M,交BC于點N,

∴∠AMB1=∠B=90°，

∵AD∥BC，

∴∠MAB1=∠ACB，

∴△AMB1∽△CBA，

∴ ，

由翻折可知AB1=AB=2，

∴，

∴B1M= ，

∵點B1到的距離小于，

∴<,解得m>.

如圖，當點E1落在邊AD上時，且點B1在AC上時，m最大，

∵∠AB1E1=∠ABC, ∠E1AB=∠ACB，

∴△AB1E1∽△ABE，

∴ ,即，

∴m=4，

∴m的取值范圍是 .