Question

【題目】已知正方形，點是其內部一點.

（1）如圖1，點在邊的垂直平分線上，將繞點逆時針旋轉，得到，當點落在上時，恰好點落在直線上，求的度數；

（2）如圖2，點在對角線上，連接，若將線段繞點逆時針旋轉后得到線段，試問點是否在直線上，請給出結論，并說明理由；

（3）如圖3，若，設，，，請寫出、、這三條線段長之間滿足的數量關系是____________.

Answer 1

【答案】（1）；（2）點在直線上，理由見解析；（3）

【解析】

（1）根據中垂線的性質和旋轉的性質判定是等邊三角形，從而求解；

（2）根據題意證明∴，從而求證；

（3）把△ABP繞點A逆時針旋轉90°，繞點B順時針旋轉90°，根據旋轉變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀可得等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質和勾股定理得出結論，等量代換求解．

連接，

∵點在邊的垂直平分線上，

∴.

又∵，

∴是等邊三角形，

∴，

∴，

∴.

（2）點在直線上.證明如下：

作交于點，過點作交于點交于點.

∴，

∴，

∴

又∵在正方形對角線上，∴∠EAP=∠APE=45°

∴，

∵，

∴，

∴，

∴.

即將線段繞點8逆時針旋轉后得到線段，點在直線上.

（3）

如圖，將△ABP繞點A逆時針旋轉90°得到△AMD，

由題意可知：∠APB=∠AAMD=135°，DM=BP,AP=AM=a，∠PAM=90°

∴∠AMP=45°

∴∠PMD=90°

∴在Rt△APM中，

在Rt△PMD中，

∴

將△ABP繞點B順時針旋轉90°得到△BNC，同理可證

在Rt△PNC中，

在Rt△BPN中，

∴

所以可得：

整理得：

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