Question

?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，BD=10cm，AC=14cm．點E從點A出發沿AC向點C運動，點F從點C出發沿CA向點A運動，且兩點都以1cm每秒的相同速度同時出發．設運動時間為t秒．
（1）當點E、F不與點O重合時，試證明四邊形DEBF為平行四邊形？
（2）在運動的過程中，∠EDF有可能為直角嗎？若有可能，請直接寫出t值；若沒有可能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意得：AE=CF=tcm．
①如圖①，當點E、F分別在OA、OC上時．
∵在平行四邊形ABCD中，OB=OD，OA=OC，
∴OE=OA-AE，OF=OC-CF，
∴OE=OF．
如圖②，當點E、F分別在OC、OA上時．
∵OE=AE-OA，OF=CF-OC，
∴OE=OF．
∵OE=OF，OB=OD，
∴四邊形DEBF為平行四邊形．

（2）當t=2或t=12時，∠EDF為直角．
理由：由（1）知 OE=OF、OB=OD，要使∠EDF是直角，只需OE=OF=OD=BD=5cm．
則∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°，
∴∠2+∠3=90°
即∠EDF=90°．
此時AE=CF=（AC-EF）=（14-10）=2cm或AE=CF=14-2=12cm
所以t=2或t=12．
分析：（1）根據對角線互相平分的四邊形為平行四邊形證得四邊形DEBF為平行四邊形；
（2）由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”證得OE=OF=OD=BD=5cm．然后由平行四邊形DEBF的對角線的性質來求AE=CF的值．
點評：本題考查了平行四邊形的判定與性質．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．平行四邊形的對角線互相平分．