Question

13．已知：如圖，Rt△ABC中，AC＞BC，∠ACB=90°，CD是△ABC的中線，點E在CD上，且∠AED=∠B．求證：AE=BC．

Answer 1

分析 延長CD到F使DF=CD，連接AF，由CD是△ABC的中線，得到AD=BD，推出△ADF≌△BCD，根據全等三角形的性質得到∠F=∠BCD，BC=AF，根據直角三角形的性質得到CD=BD，由等腰三角形的性質得到∠B=∠BCD，等量代換即可得到結論．

解答 證明：延長CD到F使DF=CD，連接AF，
∵CD是△ABC的中線，
∴AD=BD，
在△ADF與△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠ADF=∠BDC}\\{DF=DC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BCD，
∴∠F=∠BCD，BC=AF，
∵∠ACB=90°，CD是△ABC的中線，
∴CD=BD，
∴∠B=∠BCD，
∵∠AED=∠F，
∴AE=AF，
∴AE=BC．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，等腰三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．