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如圖所示,已知△ABC內接于⊙O,AD平分∠BAC交BC于點P、交⊙O于點D,連接DB、DC,在AD上取一點I,使DI=DB.
(1)求證:DI2=DP•AD;  
(2)求證:∠ABI=∠CBI;
(3)若⊙O的半徑為數學公式,∠BAC=120°,求△BDC的面積?

證明:(1)∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∵∠CBD=∠CAD,
∴∠BAD=∠CBD,
∵∠BDA=∠BDP,
∴△BDA∽△PDB,
∴BD2=AD•DP,
∵DI=DB,
∴DI2=DP•AD;

(2)∵DI=DB,
∴∠IBD=∠BID
∵∠CBI=∠IBD-∠CBD,∠ABI=∠BID-∠BAD,
∴∠ABI=∠CBI;

(3)∵∠BAC=120°,
∴∠BAD=∠CAD=60°,
∴∠CBD=∠BCD=60°,
∴△BCD為等邊三角形,
∵⊙O的半徑為,
∴BC=3,
∴S△BDC=
分析:(1)根據題意可推出∠BAD=∠CBD,即可推出△BDA∽△PDB,所以BD2=AD•DP,即DI2=DP•AD;
(2)根據題意和外角的性質,即可推出∠IBD=∠BID,∠CBI=∠IBD-∠CBD,∠ABI=∠BID-∠BAD,即∠ABI=∠CBI;
(3)根據題意可推出△BCD為等邊三角形,由⊙O的半徑即可推出BC的長度和△BCD的面積.
點評:本題主要考查相似三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質、圓周角定理,關鍵在于熟練地運用個定理性質,求△BDA∽△PDB,△BCD為等邊三角形.
練習冊系列答案
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如圖所示,已知AB=AC,BD⊥AC,試說明∠BAC=2∠CBD.

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