Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，DC＝5，AB＝4，∠B＝45°．動點M從B點出發沿線段BC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動；動點N同時從C點出發沿射線CD以每秒1個單位長度的速度運動．設運動的時間為t秒．

（1）BC=____．

（2）MC＝_____．（用t表示）

（3）求t為何值時，四邊形AMCD為平行四邊形．

（4）直接寫出t為何值時，△AND為直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）10；（2）10﹣2t；（3）即當t=時，四邊形ADCM為平行四邊形；（4）t= 或t=10時，△AND為直角三角形；

【解析】

（1）作AE⊥BC、DF⊥BC，可得四邊形AEFD為矩形，據此知AD=EF=3，根據知AE=BE=DF=4，再由可得答案．
（2）由BM=2t、BC=10知MC=10-2t；
（3）由AD=MC即3=10-2t時，四邊形ADCM為平行四邊形，據此可得；
（4）①當∠AND=90°時，根據 即

求得AN的長可得；②當∠NAD=90°時，由AD∥BC知△NAD∽△NEC，據此得，求得DN=5，據此可得答案．

（1）如圖1，作AE⊥BC于點E、DF⊥BC于點F，

則∠AEF=∠DFC=90°，

∴AE∥DF，

∵AD∥BC，

∴四邊形AEFD為矩形，

則AD=EF=3，

∵

∴AE=BE=DF=4，

則FC=

∴BC=BE+EF+FC=4+3+3=10，

故答案為：10；

（2）∵BM=2t，BC=10，

∴MC=10﹣2t，

故答案為：10﹣2t；

（3）∵AD∥BC，

∴當AD=MC，即3=10﹣2t時，四邊形ADCM為平行四邊形，

解得，

即當時，四邊形ADCM為平行四邊形；

（4）如圖2，當∠AND=90°時，

∵即

∴AN=，

由CN=CD+DN可得

如圖3，當∠NAD=90°時，

∵∠AEF=90°，AD∥BC，

∴∠EAD=90°，

∴∠NAD+∠EAD=180°，

∴點N、A、E三點共線，

∵AD∥BC，

∴△NAD∽△NEC，

∴，即

解得：DN=5，

∴NC=10，

∴t=10．

綜上或t=10時，△AND為直角三角形．