Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是射線BC上的一個動點，過點P作PE⊥AP，交射線DC于點E，射線AE交射線BC于點F，設BP=a．

（1）當點P在線段BC上時（點P與點B，C都不重合），試用含a的代數式表示CE；
（2）當a=3時，連結DF，試判斷四邊形APFD的形狀，并說明理由；
（3）當tan∠PAE=時，求a的值．

Answer 1

（1）y=，自變量的取值范圍為：0＜a＜5；
（2）四邊形APFD是菱形，證明見解析；
（3）a=3或7．

試題分析：（1）設CE=y,PC在BC上運動時，要求y關于a的函數解析式，只需要用勾股定理表示PE²=PC²+EC²就可以使問題到解決，而關鍵是解決PE²，又在Rt△APE中由勾股定理求得，從而解決問題；
（2）先證明四邊形APFD是平行四邊形，再證得四邊形APFD是菱形；
（3）由條件可以證明△ABP∽△PCE，可以得到=2，再分情況討論，從而求出a的值．
試題解析：（1）設CE=y
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4，BC=AD=5，∠B=∠BCD=∠D=90°，
∵BP=a，CE=y，
∴PC=5﹣a，DE=4﹣y，
∵AP⊥PE，
∴∠APE=90°，∠APB+∠CPE=90°，
∵∠APB+∠BAP=90°，
∴∠CPE=∠BAP，
∴△ABP∽△PCE，
∴，
∴，
∴y=，自變量的取值范圍為：0＜a＜5；
（2）當a=3時，y=，即CE=，
∴DE=，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD平行于BF．
∴△AED∽△FEC，
∴，
∴，
∴CF=3，
∴PF=PC+CF=5，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴四邊形APFD是平行四邊形，
在Rt△APB中，
AB=4，BP=3，∠B=90⁰
∴AP=5=PF，
∴四邊形APFD是菱形；
（3）根據tan∠PAE=，可得：=2
易得：△ABP∽△PCE
∴=2
于是：=2或="2"
解得：a=3，y=1.5或 a=7，y=3.5．
∴a=3或7．