Question

20．如圖，二次函數y=a（x+1）²+2的圖象與x軸交于A，B兩點，已知A（-3，0），根據圖象回答下列問題．
（1）求a的值和點B的坐標；
（2）設拋物線的頂點是P，試求△PAB的面積；
（3）在拋物線上是否存在點M，使得△MAB的面積等于△PAB的面積的2倍？若存在，求出點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法即可解決問題．
（2）先求出頂點P坐標，即可解決問題．
（3）由S_△MAB=$\frac{1}{2}$×4×|y_M|=2 S_△PAB=8，推出|y_M|=4，∴y_M=±4，再列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）將（-3，0）代入y=a（x+1）²+2，
可得0=4a+2，解得a=-$\frac{1}{2}$；
∵拋物線對稱軸方程為x=-1，A、B兩點關于對稱軸對稱，
∴B的坐標為（1，0），

（2）∵y=-$\frac{1}{2}$（x+1）²+2，
∴拋物線的頂點坐標是（-1，2），
∵A（-3，0），B（1，0），
∴AB=X_B-X_A=1-（-3）=4，
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$×4×2=4．

（3）S_△MAB=$\frac{1}{2}$×4×|y_M|=2 S_△PAB=8
∴|y_M|=4，∴y_M=±4，
當y_M=4時，y=-$\frac{1}{2}$（x+1）²+2=4，無解．
當y_M=-4時，y=-$\frac{1}{2}$（x+1）²+2=-4，
解得x=-1±2$\sqrt{3}$
∴M（-1+2$\sqrt{3}$，-4）或M（-1-2$\sqrt{3}$，-4）

點評 本題考查拋物線與x軸的交點，三角形的面積等知識，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法，確定函數解析式，學會構建方程解決實際問題，屬于中考常考題型．