Question

如圖△ABC中，AB的垂直平分線與∠ACB的外角平分線交于點D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于E則下列結論：①△ADE≌△BDF：②AE=CE+CB；③∠ADB=∠ACB；④∠DCF+∠ABD=90°，其中一定成立的是

1. A.
   ①②③
2. B.
   ①②④
3. C.
   ②③④
4. D.
   ①②③④

Answer 1

A
分析：①根據角平分線的性質與線段垂直平分線的性質，可得DE=DF，∠F=∠AED=90°，AD=BD，然后利用HL，即可判定①正確；
②首先在EA上截取EM=EC，然后利用AAS即可判定△AMD≌△ACD，根據全等三角形的對應邊相等，即可判定AE=CE+CB；
③利用全等三角形的對應角相等與等腰三角形的性質，即可求得∠ADB=∠ACB；
④利用三角形的外角的性質與全等三角形的對應角相等的知識，可證得∠DCF=∠ABD，但不能證得∠DCF+∠ABD=90°．
解答：①∵DC是∠ACB的外角平分線，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE=DF，∠F=∠AED=90°，
∵D在AB的垂直平分線上，
∴AD=BD，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL），
故①正確；
②在EA上截取EM=EC，
∵DE⊥AC，∠MDE=∠CDE，
∴DM=DC，
∵∠CDE=∠CDF，
∴∠CDF=∠EDM，
∵Rt△ADE≌Rt△BDF，
∴∠DAM=∠DBC，∠ADE=∠BDF，
∴∠ADM=∠CDB，
∴△AMD≌△ACD（AAS），
∴AM=BC，
∴AE=AM+ME=BC+EC；
故②正確；
③∵DM=DC，
∴∠DMC=∠DCM=∠DCF，
∵∠ACB+∠ECD+∠DCF=180°，∠DMC+∠DCM+∠MDC=180°，
∴∠MDC=∠ACB，
∵∠ADM=∠BDC，
∴∠ADB=∠ADM+∠MDB=∠MDB+∠CDB=∠MDC，
∴∠ADB=∠ACB；
故③正確；
④∵∠EMD=∠MAD+∠MDA，
∵∠BAC=∠MDA，
∴∠EMD=∠MAD+∠BAC=∠DAB，
∵AD=BD，DM=CD，
∴∠ABD=∠DAB，∠CMD=∠MCD，
∴∠MCD=∠ABD，
∵∠DCF=∠MCD，
∴∠FCD=∠ABD，
∴∠ECF+∠FCD=∠ABD+∠FCD≠90°，
故④錯誤．
故正確的有：①②③．
故選A．
點評：此題考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、角平分線的性質以及線段垂直平分線的性質等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．