Question

已知：如圖，點D是⊙O的直徑CA延長線上一點，點B在⊙O上，且OA=AB=AD．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）若點E是劣弧BC上一點，AE與BC相交于點F，且BE=8，tan∠BFA=

5

2

，求⊙O的半徑長．

Answer 1

分析：（1）連接OB，得到△OAB是等邊三角形，∠OBA=∠OAB=60°，再由AD=AB得到∠ABD=30°，所以∠DBO=90°，證明BD是⊙O的切線．
（2）在直角△ABF中，求出cos∠BFA的值，然后由△ACF∽△BEF，得到

BE

AC

=

BF

AF

，求出直徑AC，再確定圓的半徑的長．

解答：解：（1）如圖：
連接OB，
∵OA=AB=OB，
∴△OAB是等邊三角形，
∴∠OAB=∠OBA=60°，
∵AD=AB，
∴∠ABD=∠D=

1

2

∠OAB=30°．
∴∠DBO=∠ABD+∠OBA=30°+60°=90°．
即OB⊥BD，
∴DB是⊙O的切線．

（2）∵AC是直徑，點B在⊙O上，
∴∠ABC=90°，
∴△ABF為直角三角形，
在直角△ABF中，由tan∠BFA=

5

2

，設AB=

5

a，則BF=2a，AF=3a，
∴cos∠BFA=

BF

AF

=

2a

3a

=

2

3

．
∵∠C=∠E，∠AFC=∠BFE，
∴△AFC∽△BFE，
∴

BE

AC

=

BF

AF

=

2

3

，
∵BE=8，
∴AC=12．
因此圓的半徑為6．

點評：本題考查的是切線的判定，（1）根據題目的條件求出∠DBO的度數，證明DB是圓的切線．（2）利用三角函數求出

BF

AF

的值，然后利用相似三角形求出直徑的長，再確定圓的半徑的長．