Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分別從A、B、C、D出發沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的邊上同時運動，當有一個點先到達所在運動邊的另一個端點時即停止．已知在相同時間內，若BQ＝xcm（x≠0），則AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm．

（Ⅰ）當x為何值時，AP、ND長度相等？

（Ⅱ）當x為何值時，以PQ、MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊能構成一個三角形？

（Ⅲ）當x為何值時，以P、Q、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當x為2時，AP、ND長度相等；（Ⅱ）當x為時，以PQ、MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊能構成一個三角形；（Ⅲ）當x＝2或x＝4時，以P、Q、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．

【解析】

(Ⅰ)由題意得出方程，解方程即可；

(Ⅱ)分點P與點N重合或點Q與點M重合兩種情況，由題意得出方程，解方程即可；

(Ⅲ) 把P、N兩點分兩種情況討論，點P在點N的左側或點P在點N的右側，進一步利用平行四邊形的性質聯立方程解答即可．

(Ⅰ)∵，

∴AP=ND時，即，

解得：或(舍去)，

∴當為2時，AP、ND長度相等；

(Ⅱ)當點P與點N重合或點Q與點M重合時，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊(AD或BC)的一部分為第三邊可能構成一個三角形，

①當點P與點N重合時，

由題意得：，

解得： (舍去)，

∵，此時點Q與點M不重合，

∴符合題意；

②當點Q與點M重合時，

由題意得：，

解得：，

此時，不符合題意，

∴點Q與點M不能重合．

綜上所述，所求的值為：；

(Ⅲ)∵當N點到達A點時，，此時M點和Q點還未相遇，

∴點Q只能在點M的左側，

①當點P在點N的左側時，如圖1所示：

由題意得：，

解得： (舍去)，，

當時四邊形PQMN是平行四邊形；

②當點P在點N的右側時，如圖2所示：

由題意得：，

解得：(舍去)，，

當時，四邊形NQMP是平行四邊形；

綜上所述，當或時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形．