Question

如圖，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，現有兩點M、N分別從點A、點B同時出發，沿三角形的邊運動，已知點M的速度為1cm/s，點N的速度為2cm/s．當點N第一次到達B點時，M、N同時停止運動．

（1）點M、N運動幾秒后，M、N兩點 重合？

（2）點M、N運動幾秒后，可得到等邊三角形△AMN？

（3）當點M、N在BC邊上運動時，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN？如存在，請求出此時M、N運動的時間．

 

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）設點M、N運動x秒后，M、N兩點重合，根據N的運動路程比M的運動路程多12cm，列出方程，然后求解即可；（2）設點M、N運動t秒后，可得到等邊三角形△AMN，然后表示出AM，AN的長，由于∠A等于60°，所以只要AM=AN三角形ANM就是等邊三角形；（3）設△AMN是等腰三角形，通過證出△ACM≌△ABN，可得CM=BN，設出運動時間，表示出CM，NB，NM的長，列出方程，可解出未知數的值即可．

試題解析：

【解析】
（1）設N與M重合時，運動時間為x秒。由題意，得：x+12=2x解得：x=1 2 ∴運動時間為12秒時，N與M重合.

（2） ∵ △ABC是等邊三角形，∴∠A=60 ，當AM=AN時，△AMN為等邊三角形

設運動的時間為y秒，則 AN=12-2a ; AM=a，∴ 12-2a = a ∴ a=4

∴當運動時間為4秒時， △AMN為等邊三角形

（3）當N與M在BC上運動時，如圖：若CM=NB時，在△ACM和△ABN中：

∴△ACM≌△ABN（SAS）

∴AM=AN

∴△AMN為等腰三角形

設運動時間為m秒，∴CM=m-12，NB=36-2m

∵CM=NB

∴m-12=36-2m

∴m=16

∴運動時間為16秒時，△AMN為等腰三角形

 

（1） （2） （3）

考點：1.等邊三角形的性質；2.等腰三角形的判定；3.全等三角形的判定與性質.