Question

如圖，點O是等邊△ABC內一點，∠AOB=105°，∠BOC=α．將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，連接OD．
（1）試判斷△COD的形狀，并說明理由．
（2）△AOD能否成為等邊三角形？如能，請求出α的值；如不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）三角形OCD是等邊三角形，理由為：由旋轉可知三角形BCO與三角形ACD全等，根據全等三角形的對應邊相等，對應角相等可得出OC=CD，∠BCO=∠ACD，由三角形ABC為等邊三角形，可得出內角∠ACB為60°，即∠BCO與∠OCA之和為60°，等量代換可得出∠ACD與∠OCA之和為60°，即∠OCD為60°，再由OC=CD，得到三角形OCD為等邊三角形；
（2）三角形AOD不可能為等邊三角形，理由為：假設三角形AOD為等邊三角形，可得出∠ADO為60°，再由三角形OCD為60°，得到∠ADC為120°，即∠BOC為120°，而∠AOB=105°，∠AOC=120°，根據周角的定義求出∠BOC為135°，矛盾，故假設錯誤，得到三角形AOD不可能為等邊三角形．
解答：解：（1）△OCD是等邊三角形，理由為：
由旋轉可得△BCO≌△ACD，
∴OC=CD，∠BCO=∠ACD，
又△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，即∠BCO+∠OCA=60°，
∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=∠OCA+∠BCO=60°，又OC=CD，
則△OCD是等邊三角形；
（2）△AOD不可能是等邊三角形，理由為：
假設△AOD是等邊三角形，則∠ADO=60°，
∵△OCD是等邊三角形，
∴∠DOC=∠CDO=60°，即∠ADC=120°，
又∵∠AOB+∠α+∠COD+∠AOD=360°，且∠AOB=105°，
∴∠BOC=360°-105°-60°-60°=135°，
這與已知∠BOC=∠ADC矛盾，故假設錯誤，
則△AOD不可能是等邊三角形．
點評：此題考查了等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，旋轉的性質，以及反證法的運用，熟練掌握等邊三角形的判定與性質是解本題的關鍵．