Question

（2012•開封一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，斜邊AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，連接BE．
（1）若BE是△DEC的外接圓的切線，求∠C的大小；
（2）當AB=1，AC=2時，求△DEC的外接圓的半徑．

Answer 1

分析：（1）求出O在DC上，連接OE，得出∠EBO+∠BOE=90°，求出BE=EC=

1

2

AC，推出∠C=∠EBC，得出∠BOE=2∠C，即可求出∠C；
（2）求出EC，證△DEC∽△ABC，推出

AC

DC

=

BC

EC

，代入求出DC即可．

解答：解：（1）∵DE垂直平分AC，
∴∠DEC=90°，
∴DC是⊙O的直徑，
∴O在DC上，
連接OE，
∵BE是⊙O的切線，
∴∠OEB=90°，
∴∠EBO+∠BOE=90°，
在Rt△ABC中，E為斜邊AC的中點，
∴BE=EC=AE=

1

2

AC（直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半），
∴∠EBO=∠C，
∵OC=OE，
∴∠C=∠CEO，
∵∠BOE=∠C+∠CEO，
∴∠BOE=2∠C，
∵∠EBO+∠BOE=90°，∠EBO=∠C
∴∠C+2∠C=90°，
∴∠C=30°；

（2）在Rt△ABC中，BC=

AC2-AB2

=

3

，
EC=

1

2

AC=1，
∵∠ABC=∠DEC=90°，∠C=∠C，
∴△DEC∽△ABC，
∴

AC

DC

=

BC

EC

，
∴

2

DC

=

3

1

，
∴DC=

2 3

3

，
∴△DEC的外接圓的半徑是

3

3

．

點評：本題考查的知識點是切線的性質、相似三角形的性質和判定、勾股定理、線段垂直平分線的性質，主要考查學生運用性質進行推理和計算的能力．