Question

一個四位數(shù)具有這樣的性質(zhì)：用它的后兩位數(shù)去除這個四位數(shù)得到一個完全平方數(shù)（如果它的十位數(shù)字是零，就只用個位數(shù)去除），且這個完全平方數(shù)正好是前兩位數(shù)加1的平方．例如4802÷2=2401=49²=（48+1）²．則具有上述性質(zhì)的最小四位數(shù)是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)原數(shù)是ABCD，先將AB及CD看作一個未知數(shù)，然后利用題設(shè)中的條件可得出關(guān)于AB及CD的方程，利用方程根的知識可得出AB及CD的值，繼而可得出答案．

解答：解：設(shè)原數(shù)是ABCD，
則：

ABCD

CD

=（AB+1）²，AB，CD這里先各當(dāng)一個未知數(shù)看，
（AB+1）²=AB²+2AB+1=

AB00

CD

+1，
AB²+（2-

100

CD

）AB=0，
AB（AB+2-

100

CD

）=0的根是（AB+2）=

100

CD

，
則（AB+2）CD=100，
即CD、AB+2都是100的約數(shù)，4，5，10，20，25，
因為是四位數(shù)，則：AB+2只能是20或25，
最小當(dāng)然是20，CD=5，
因此，結(jié)果是1805．
故答案為：1805．

點評：本題考查完全平方數(shù)及整數(shù)的奇偶性的知識，難度較大，關(guān)鍵是利用題設(shè)中的條件得出關(guān)于AB及CD的方程．