Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=﹣x+2交x軸于點A，交y軸于點B，過點A的拋物線y=ax2+bx﹣2與y軸交點C，與直線AB的另一個交點為D，點E是線段AD上一點，點F在拋物線上，EF∥y軸，設E的橫坐標為m

（1）用含a的代數式表示b．

（2）當點D的橫坐標為8時，求出a的值．

（3）在（2）的條件下，設△ABF的面積為S，求出S最大值，并求出此時m的值．

Answer 1

【答案】(1) b=1﹣2a；（2）a=﹣；（3）m=5時，△ABF的面積最大，最大值為．

【解析】

（1）把A（2，0）代入y=ax2+bx﹣2得到4a+2b﹣2=0，即可得b=1﹣2a；（2）先求得點D的坐標為（8，﹣6），代入y=ax2+bx﹣2中，結合（1）即可求得a的值；（3）如圖，連接AF、BF，作FH⊥AB用H．設E（m，﹣m+2），則F（m，﹣m+m﹣2），構建△ABF的面積為S與m的二次函數關系，利用二次函數的性質解答即可．

（1）由題意A（2，0），B（0，2），

把A（2，0）代入y=ax2+bx﹣2得到4a+2b﹣2=0，

∴b=1﹣2a．

（2）∵D的橫坐標為8，

x=8時，y=﹣8+2=﹣6，

∴D（8，﹣6），

把D（8，﹣6）代入y=ax2+bx﹣2得到：64a+8b﹣2=﹣6，

∴64a+8（1﹣2a）﹣2=﹣6，

∴a=﹣．

（3）如圖，連接AF、BF，作FH⊥AB用H．設E（m，﹣m+2），則F（m，﹣m+m﹣2）．

∵OA=OB=2，∠AOB=90°，

∴∠ABO=45°，AB=2，

∵EF∥OB，

∴∠FEH=∠OBA=45°，

∴FH=EF，

∴S△ABF=×AB×FH=×2×（﹣m2+m﹣4）=﹣（m﹣5）2+，

∵﹣＜0，

∴m=5時，△ABF的面積最大，最大值為．