Question

如圖（1）所示，E為矩形ABCD的邊AD上一點，動點P、Q同時從點B出發，點P以1cm/秒的速度沿折線BE-ED-DC運動到點C時停止，點Q以2cm/秒的速度沿BC運動到點C時停止．設P、Q同時出發t秒時，
△BPQ的面積為ycm²．已知y與t的函數關系圖象如圖（2）（其中曲線OG為拋物線的一部分，其余各部分均為線段），則下列結論：
①當0＜t≤5時，y=t²；②當t=6秒時，△ABE≌△PQB；③cos∠CBE=；④當t=秒時，△ABE∽△QBP；
其中正確的是（ ）

A．①②
B．①③④
C．③④
D．①②④

Answer 1

【答案】分析：根據圖（2）可以判斷三角形的面積變化分為四段，①當點P在BE上運動，點Q到達點C時；②當點P到達點E時，點Q靜止于點C，從而得到BC、BE的長度；③點P到達點D時，點Q靜止于點C；④當點P在線段CD上，點Q仍然靜止于點C時．
解答：解：
根據圖（2）可得，當點P到達點E時點Q到達點C，
∵點P、Q的運動的速度分別是1cm/秒、2cm/秒
∴BC=BE=10，
∴AD=BC=10．
又∵從M到N的變化是4，
∴ED=4，
∴AE=AD-ED=10-4=6．
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∴cos∠1=cos∠2===．
故③錯誤；
如圖1，過點P作PF⊥BC于點F，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∴sin∠1=sin∠2===，
∴PF=PB•sin∠1=t，
∴當0＜t≤5時，y=BQ•PF=×2t×t=t²，故①正確；
如圖3，當t=6秒時，點P在BE上，點Q靜止于點C處．
在△ABE與△PQB中，，
∴△ABE≌△PQB（SAS）．
故②正確；
如圖4，當t=秒時，點P在CD上，此時，PD=-BE-ED=-10-4=，
PQ=CD-PD=8-=，
∵==，==，
∴=
又∵∠A=∠Q=90°，
∴△ABE∽△QBP，故④正確．
綜上所述，正確的結論是①②④．
故選D．
點評：本題考查了動點問題的函數圖象，根據圖（2）判斷出點P到達點E用了10s，點Q到達點C用了5s是解題的關鍵，也是本題的突破口．