Question

如圖（1）所示，E為矩形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿折線BE-ED-DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，它們運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/秒．設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)t秒時(shí)，△BPQ的面積為ycm²．已知y與t的函數(shù)關(guān)系圖象如圖（2）（曲線OM為拋物線的一部分），則下列結(jié)論：①AD=BE=5；②cos∠ABE=

3

5

；③當(dāng)0＜t≤5時(shí)，y=

2

5

t2；④當(dāng)t=

29

4

秒時(shí)，△ABE∽△QBP；其中正確的結(jié)論是（　　）

A．①②③

B．②③

C．①③④

D．②④

Answer 1

分析：據(jù)圖（2）可以判斷三角形的面積變化分為三段，可以判斷出當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)E時(shí)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C，從而得到BC、BE的長(zhǎng)度，再根據(jù)M、N是從5秒到7秒，可得ED的長(zhǎng)度，然后表示出AE的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)度，然后針對(duì)各小題分析解答即可．

解答：解：根據(jù)圖（2）可得，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)E時(shí)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C，
∵點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/秒，
∴BC=BE=5，
∴AD=BE=5，故①小題正確；
又∵從M到N的變化是2，
∴ED=2，
∴AE=AD-ED=5-2=3，
在Rt△ABE中，AB=

BE2-AE2

=

52-32

=4，
∴cos∠ABE=

AB

BE

=

4

5

，故②小題錯(cuò)誤；
過點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠PBF，
∴sin∠PBF=sin∠AEB=

AB

BE

=

4

5

，
∴PF=PBsin∠PBF=

4

5

t，
∴當(dāng)0＜t≤5時(shí)，y=

1

2

BQ•PF=

1

2

t•

4

5

t=

2

5

t²，故③小題正確；
當(dāng)t=

29

4

秒時(shí)，點(diǎn)P在CD上，此時(shí)，PD=

29

4

-BE-ED=

29

4

-5-2=

1

4

，
PQ=CD-PD=4-

1

4

=

15

4

，
∵

AB

AE

=

4

3

，

BQ

PQ

=

5

15 4

=

4

3

，
∴

AB

AE

=

BQ

PQ

，
又∵∠A=∠Q=90°，
∴△ABE∽△QBP，故④小題正確．
綜上所述，正確的有①③④．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用及動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，根據(jù)圖（2）判斷出點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)E時(shí)，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破口，難度較大．