Question

閱讀與解答：
在進行二次根式化簡時，我們有時會碰上如

5

3

，

2 3

，

2

3 +1

一樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：

5

3

=

5× 3

3 × 3

=

5

3

3

（一），

2 3

=

2×3 3×3

=

6

3

（二），

2

3 +1

=

2×( 3 -1)

( 3 +1)( 3 -1)

=

2( 3 -1)

( 3 )2-12

=

3

-1（三），

2

3 +1

還可以用以下方法化簡：

2

3 +1

=

3-1

3 +1

=

( 3 )2-12

3 +1

=

( 3 +1)( 3 -1)

3 +1

=

3

-1（四）
以上這種化簡的方法叫做分母有理化．
（1）請用不同的方法化簡

2

5 + 3

．
①參照（三）式得

2

5 + 3

=

 

．
②參照（四）式得

2

5 + 3

=

 

．
（2）化簡：

2

3 +1

+

2

5 + 3

+

2

7 + 5

+…+

2

2009 + 2007

．

Answer 1

分析：解答本題要認真閱讀前面的分析，根據題目的要求選擇正確的解題方法．

解答：解：（1）①原式=

2( 5 - 3 )

( 5 + 3 )( 5 - 3 )

=

2( 5 - 3 )

5-3

=

5

-

3

．
②原式=

( 5 )2-( 3 )2

5 + 3

=

( 5 + 3 )( 5 - 3 )

5 + 3

=

5

-

3

．
故應填

5

-

3

．
（2）原式=2(

3 -1

( 3 +1)( 3 -1)

+

5 - 3

( 5 + 3 )( 5 - 3 )

+

7 - 5

( 7 + 5 )( 7 - 5 )

+
+

2009 - 2007

( 2009 + 2007 )( 2009 - 2007 )

)
=2(

3 -1

2

+

5 - 3

2

+

7 - 5

2

+…+

2009 - 2007

2

)
=

3

-1+

5

-

3

+

7

-

5

+…+

2009

-

2007

=

2009

-1．
故應填

2009

-1．

點評：主要考查二次根式的有理化．根據二次根式的乘除法法則進行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點的式子．即一項符號和絕對值相同，另一項符號相反絕對值相同．