Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在圓上，＝，過點C作CE⊥AD延長線于點E．

（1）求證：CE是⊙O的切線；

（2）若BC＝3，AC＝4，求CE和AD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）CE=，AD=.

【解析】

（1）連接OC，OA＝OC，則∠OCA＝∠OAC，再由已知條件，可得∠OCE＝90°；

（2）由CE是⊙O的切線，得∠DCE＝∠CAE＝∠CAB，從而求得△CDE∽△ABC，△ACE∽△ABC，根據相似三角形對應邊成比例即可求得．

解：（1）連接OC，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠OAC，

∵＝，

∴DC＝BC，

∴∠BAC＝∠CAD，

∴∠OCA＝∠CAD，

∴OC∥AE，

∵∠E＝90°

∴∠OCE＝90°，

∴OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切線；

（2）∵CE是⊙O的切線，

∴∠DCE＝∠CAE＝∠CAB，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝∠E，

∴△CDE∽△ABC，△ACE∽△ABC，

∴＝＝， ＝，

∵BC＝3，AC＝4，

∴AB＝5，CD＝3，

∴＝，＝，＝，

∴CE＝，ED＝，AE＝，

∴AD＝AE﹣ED＝．