Question

【題目】如圖①，已知線段AB和直線l，用直尺和圓規在l上作出所有的點P，使得∠APB=30°，如圖②，小明的作圖方法如下：

第一步：分別以點A，B為圓心，AB長為半徑作弧，兩弧在AB上方交于點O；

第二步：連接OA，OB；

第三步：以O為圓心，OA長為半徑作⊙O，交l于P1，P2；

所以圖中P1，P2即為所求的點．

（1）在圖②中，連接P1A，P1B，證明∠AP1B=30°；

（2）如圖③，用直尺和圓規在矩形ABCD內作出所有的點P，使得∠BPC=45°，（不寫做法，保留作圖痕跡）．

（3）已知矩形ABCD，若BC=2．AB=m，P為AD邊上的點，若滿足∠BPC=45°的點P恰有兩個，則m的取值范圍為______________．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）詳見解析；（3）2≤m＜

【解析】

（1）由等邊三角形得：∠AOB=60°，則根據圓周角定理可得：∠AP1B=30°；

（2）作等腰直角三角形BEC，BFC，再作△EBC的外接圓，可得圓心角∠BOC=90°，則BC所對的圓周角都是45°；

（3）先確定⊙O，根據同弧所對的圓周角相等，可得AD在四邊形GEFH內部時符合條件，再進行求解即可；

答案：（1）∵OA=OB=AB，

∴△OAB是等邊三角形，

∴∠AOB=60°，

由圖②得：∠AP1B= ∠AOB=30°；

（2）如圖③，①以B、C為圓心，以BC為半徑作圓，交AB、DC于E、F，

②作BC的中垂線，連接EC，交于O，

③以O為圓心，OE為半徑作圓，

則 上所有的點（不包括E、F兩點）即為所求；

（3）如圖：作⊙O

∵BE=BC=2

∴CE=

∴⊙O的半徑為v2，即OE=0G=，

∵OG⊥EF

∴EH=1，

∴Oн=1，

∴GH= -1，

∴BE≤AB<MB，

∴2≤m<2+-1，即2<m<+1，

故答案為：2≤m＜