Question

5月份，某品牌襯衣正式上市銷售．5月1日的銷售量為10件，5月2日的銷售量為35件，以后每天的銷售量比前一天多25件，直到日銷售量達到最大后，銷售量開始逐日下降，至此，每天的銷售量比前一天少15件，直到5月31日銷售量為0．設該品牌襯衣的日銷量為p（件），銷售日期為n（日），p與n之間的關系如圖所示．
（1）寫出p關于n的函數關系式p=

 

（注明n的取值范圍）；
（2）經研究表明，該品牌襯衣的日銷量超過150件的時間為該品牌襯衣的流行期．請問：該品牌襯衣本月在市面的流行期是多少天？
（3）該品牌襯衣本月共銷售了

 

件．

Answer 1

分析：（1）因為5月1日的銷售量為10件，5月2日的銷售量為35件，以后每天的銷售量比前一天多25件，直到日銷售量達到最大后，銷售量開始逐日下降，至此，每天的銷售量比前一天少15件，直到5月31日銷售量為0，所以p=

25n-15(1≤n≤12，且n為整數) -15n+465(12＜n≤31，且n為整數)

（2）分1≤n≤12時和12＜n≤31兩種情況列出不等式，分別求出n的取值范圍即可；
（3）以12日為界，前后是兩個等差數列 當 1≤n≤12時，首項a₁=10，末項a₁₂=285，項數 k₁=12 所以 和 s₁=（10+285）×

12

2

=1770 當 12＜n≤31時，首項a₁₃=270，末項a₃₁=0，項數 k₂=19 所以 和 s₁=270×

19

2

=2565，再求出其和即可．

解答：解：（1）此題的關鍵是銷售量轉折點日期的確定，設5月x日是最后一天銷售量增加的日期，據題意，
有10+25（x-1）=15（31-x），解得 x=12，
因此（1）10+25（n-1），1≤n≤12；
p=15（31-n），12＜n≤31．
故p=

25n-15(1≤n≤12，且n為整數) -15n+465(12＜n≤31，且n為整數)

；

（2）當1≤n≤12時，若 10+25（n-1）＞150解得 n＞

33

5

，
考慮實際日期，應從7日起算，此段時間流行期為12-7+1=6天，
當12＜n≤31時，15（31-n）＞150，解得 n＜21，
故此段流行期為20-12=8天 因此，本月流行期為 6+8=14天；

（3）以12日為界，前后是兩個等差數列
當1≤n≤12時，首項a₁=10，末項a₁₂=285，項數k₁=12，所以和s₁=（10+285）×

12

2

=1770
當12＜n≤31時，首項a₁₃=270，末項a₃₁=0，項數 k₂=19 所以和s₁=270×

19

2

=2565，
所以本月共銷售了1770+2565=4335件．

點評：本題需仔細觀察圖象，利用分段函數解決問題．