Question

9．如圖，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以邊AB的中點O為圓心，作半圓與AC相切，點P、Q分別是邊BC和半圓上的動點，連接PQ，則PQ長的最大值與最小值的和是9．

Answer 1

分析 如圖，設⊙O與AC相切于點E，連接OE，作OP₁⊥BC垂足為P₁交⊙O于Q₁，此時垂線段OP₁最短，P₁Q₁最小值為OP₁-OQ₁，求出OP₁，如圖當Q₂在AB邊上時，P2與B重合時，P₂Q₂最大值=5+3=8，由此不難解決問題．

解答 解：如圖，設⊙O與AC相切于點E，連接OE，作OP₁⊥BC垂足為P₁交⊙O于Q₁，
此時垂線段OP₁最短，P₁Q₁最小值為OP₁-OQ₁，
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴AB²=AC²+BC²，
∴∠C=90°，
∵∠OP₁B=90°，
∴OP₁∥AC
∵AO=OB，
∴P₁C=P₁B，
∴OP₁=$\frac{1}{2}$AC=4，
∴P₁Q₁最小值為OP₁-OQ₁=1，
如圖，當Q₂在AB邊上時，P2與B重合時，P₂Q₂經過圓心，經過圓心的弦最長，
P₂Q₂最大值=5+3=8，
∴PQ長的最大值與最小值的和是9．
故答案為：9．

點評 本題考查切線的性質、三角形中位線定理等知識，解題的關鍵是正確找到點PQ取得最大值、最小值時的位置，屬于中考常考題型．