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△ABC中,∠A=∠B=30°,AB=2
3
,把△ABC放在平面直角坐標系中,使AB的中點位于坐標原點O(如圖),△ABC可以繞點O作任意角度的旋轉.
(1)當點B在第一象限,縱坐標是
6
2
時,求點B的橫坐標;
(2)如果拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸經過點C,請你探究:
①當a=
5
4
,b=-
1
2
,c=-
3
5
5
時,A,B兩點是否都在這條拋物線上?并說明理由;
②設b=-2am,是否存在這樣的m的值,使A,B兩點不可能同時在這條拋物線上?若存在,直精英家教網接寫出m的值;若不存在,請說明理由.
分析:(1)由于O是AB的中點,則OA=OB=
3
;可設出點B的橫坐標,結合B點的縱坐標和勾股定理即可求出B點的橫坐標;
(2)①已知了拋物線的解析式,即可得到拋物線的對稱軸方程,也就得到了C點的橫坐標;此時發現C點橫坐標為正數,所以分兩種情況討論:
一、點C在第一象限;在Rt△OBC中,根據OB的長及∠B的度數,可求出OC的長,參照(1)的方法即可求出C點的坐標;若分別過A、C作x軸的垂線,通過構建的相似三角形即可求出A點的坐標,A、B關于原點對稱,即可得到B點的坐標;將A、B的坐標代入拋物線的解析式中進行驗證即可;
二、點D在第四象限;方法同一;
②若b=-2am,則函數的解析式為:y=ax2-2amx+c=a(x-m)2-am2+c;由此可得C點的橫坐標為m;在△ABC旋轉的過程中,C點橫坐標的取值范圍在區間[-1,1]之間,由于當m=-1或1時,C點在x軸上,A、B同時處在y軸,所以此時拋物線不可能同時經過A、B兩點.
解答:解:(1)∵點O是AB的中點,
∴OB=
1
2
AB=
3
;(1分)
設點B的橫坐標是x(x>0),
則x2+(
6
2
2=(
3
2,(1分)
解得x1=
6
2
,x2=-
6
2
(舍去);
∵點B在第一象限,
∴點B的橫坐標是
6
2
;(2分)

(2)①當a=
5
4
,b=-
1
2
,c=-
3
5
5
時,得y=
5
4
x2-
1
2
x-
3
5
5
(*)
y=
5
4
(x-
5
5
)
2
-
13
5
20
;(1分)
以下分兩種情況討論;
情況1:設點C在第一象限(如圖),
則點C的橫坐標為
5
5
,OC=OB×tan30°=
3
×
3
3
=1;(1分)
由此,可求得點C的坐標為(
5
5
2
5
5
),
根據∠A=30°,OC⊥AB,
過C作X軸的垂線交X軸于N,過點A作垂線交X軸于點M,
則△AOM∽△CON
∴OA:OC=OM:CN=AM:ON=
3
:1精英家教網
∵NO=
5
5

∴AM=NO×
3
=
15
5

∴MO=CN×
3
=
2
15
5

∴點A(-
2
15
5
15
5
),
∵A,B兩點關于原點對稱,

∴點B的坐標為(
2
15
5
,-
15
5
),
將點A的橫坐標代入解析式的右邊,計算得
15
5

即等于點A的縱坐標;
將點B的橫坐標代入解析式的右邊,計算得-
15
5
,即等于點B的縱坐標;
∴在這種情況下,A,B兩點都在拋物線上;
情況2:設點C在第四象限(如圖),則點C的坐標為(
5
5
,-精英家教網
2
5
5
),
點A的坐標為(
2
15
5
15
5
),點B的坐標為(-
2
15
5
,-
15
5
);
經計算,A,B兩點都不在這條拋物線上;
②存在,m的值是1或-1.
y=a(x-m)2-am2+c,
因為這條拋物線的對稱軸經過點C,
所以-1≤m≤1;
當m=±1時,點C在x軸上,此時A,B兩點都在y軸上.
因此當m=±1時,A,B兩點不可能同時在這條拋物線上.
點評:此題是二次函數的綜合題型,主要考查了等腰三角形的性質、解直角三角形、勾股定理、圖形的旋轉變換等知識.
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A、y=
3
2
x(0<x<2)
B、y=
3
2
x(0<x≤2)
C、y=
2
3
x(0<x≤2)
D、y=
2
3
x(0<x<2)

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5<AC<11

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