Question

10．如圖，△ABC中，∠C=90°，D是BC邊上一點，以DB為直徑的⊙O交AB于E，交AD的延長線于F，連結EF，∠1=∠F．
（1）求證：AE=BE；
（2）若tanB=$\frac{1}{2}$，EF=4$\sqrt{5}$，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）連接DE，由BD是⊙O的直徑，得到∠DEB=90°，由于E是AB的中點，得到DA=DB，根據(jù)等腰三角形的性質得到∠1=∠B等量代換即可得到結論；
（2）根據(jù)等腰三角形的判定定理得到AE=EF=4$\sqrt{5}$，推出AB=2AE=8$\sqrt{5}$，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得到BC，設CD=x，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結論．

解答 解：（1）證明：連接DE，
∵BD是⊙O的直徑，
∴∠DEB=90°，
∵E是AB的中點，
∴DA=DB，
∴∠1=∠B，
∵∠B=∠F，
∴∠1=∠F；

（2）∵∠1=∠F，
∴AE=EF=4$\sqrt{5}$，
∴AB=2AE=8$\sqrt{5}$，
在Rt△ABC中，∵tanB=$\frac{1}{2}$，
∴BC=2AC，∴BC=16，
設CD=x，則AD=BD=16-x，
∵AC²+CD²=AD²，
即8²+x²=（16-x）²，
∴x=3
6，即CD=6．

點評 本題考查了圓周角定理，解直角三角形的性質，等腰三角形的性質，勾股定理，正確的作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．