Question

【題目】如圖，在△ABC中，高AD和BE交于點H，且∠1＝∠2＝22.5°，下列結論正確的有（　　）

①∠1＝∠3；②BD+DH＝AB；③2AH＝BH；④若CD＝，則BH＝3；⑤若DF⊥BE于點F，則AE－DF＝FH．

A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤

Answer 1

【答案】B

【解析】

①由直角三角形的性質得出∠1＝∠3，①正確；

②證出△ABD是等腰直角三角形，得出AD＝BD，證明△BDH≌△ADC（ASA），得出DH＝CD，BH＝AC，得出BD＋DH＝AB，②正確；

③由BH＝AC，當AC＝2AH時，2AH＝BH，③錯誤；

④連接CH，由全等三角形的性質得出DH＝DC＝，得出△CDH是等腰直角三角形，得出CH＝CD＝2，∠CHD＝45°，證出AH＝CH＝2，得出BD＝AD＝2＋，由勾股定理即可得出④錯誤；

⑤作DK⊥AC于K，則DF＝EK，證明△DFH≌△DKC（AAS），得出FH＝KC，DF＝DK，證出AB＝CB，由等腰三角形的性質得出AE＝CE，即可得出AEFH＝DF，⑤正確；即可得出結論．

解：①∵∠1＝∠2＝22.5°，

又∵AD是高，

∴AD⊥BC，

∴∠2＋∠C＝∠3＋∠C，

∴∠1＝∠3，①正確；

②∵∠1＝∠2＝22.5°，

∴∠ABD＝45°，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴AD＝BD，

∵AD⊥BC，

∴∠BDH＝∠ADC＝90°，

在△BDH和△ADC中，

∴△BDH≌△ADC（ASA），

∴DH＝CD，BH＝AC，

∵AB＝BC，

∴BD＋DH＝AB，②正確；

③∵BH＝AC，當AC＝2AH時，2AH＝BH，③錯誤；

④連接CH，如圖1所示：

∵△BDH≌△ADC，

∴DH＝DC＝，

∴△CDH是等腰直角三角形，

∴CH＝CD＝2，∠CHD＝45°，

∵∠3＝∠2＝22.5°，

∴∠HCA＝22.5°＝∠3，

∴AH＝CH＝2，

∴BD＝AD＝2＋，

∴BH2＝BD2＋DH2＝（2＋）2＋（）2≠9，

∴BH≠3，④錯誤；

⑤作DK⊥AC于K，如圖2所示：

則DF＝EK，∠DKC＝90°，∠C＋∠CDK＝∠C＋∠3，

∴∠CDK＝∠3，

∵BE⊥AC，DF⊥BE，

∴DF∥AC，∠DFH＝90°＝∠DKC，

∴∠FDH＝∠CDK，

在△DFH和△DKC中，

，

∴△DFH≌△DKC（AAS），

∴FH＝KC，DF＝DK，

∵∠1＝∠2，BE⊥AC，

∴∠BAC＝∠BCA，

∴AB＝CB，

∴AE＝CE，

∵CE＝KC＋EK，DF＝EK，

∴AE＝FH＋DF，

∴AEFH＝DF，⑤正確．

故選：B．