Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B=90°，AB=BC，D是⊙O上與點(diǎn)B關(guān)于圓心O成中心對(duì)稱的點(diǎn)，P是BC邊上一點(diǎn)，連接AD、DC、AP．已知AB=8，CP=2，Q是線段AP上一動(dòng)點(diǎn)，連接BQ并延長(zhǎng)交四邊形ABCD的一邊于點(diǎn)R，且滿足AP=BR，則

BQ

QR

的值為

 

．

Answer 1

分析：先證明四邊形ABCD是正方形，得出AD∥BC．根據(jù)題意，可知點(diǎn)R所在的位置可能有兩種情況：①點(diǎn)R在線段AD上；②點(diǎn)R在線段CD上．針對(duì)每一種情況，分別求出BQ：QR的值．

解答：解：∵△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B=90°，AB=BC，D是⊙O上與點(diǎn)B關(guān)于圓心O成中心對(duì)稱的點(diǎn)，
∴四邊形ABCD是正方形．
∴AD∥BC，
當(dāng)AP=BR時(shí)，分兩種情況：
①點(diǎn)R在線段AD上，
∵AD∥BC，
∴∠ARB=∠PBR，∠RAQ=∠APB，
在△AQR與△PQB中，
∵

∠RAQ=∠QPB AR=BP ∠ARB=∠RBP

，
∴△AQR≌△PQB，
∴BQ=QR
∴BQ：QR=1；
②點(diǎn)R在線段CD上，此時(shí)△ABP≌△BCR，
∴∠BAP=∠CBR．
∵∠CBR+∠ABR=90°，
∴∠BAP+∠ABR=90°，
∴BQ是直角△ABP斜邊上的高，
∴BQ=

AB•BP

AP

=

8×6

10

=4.8，
∴QR=BR-BQ=10-4.8=5.2，
∴BQ：QR=4.8：5.2=

12

13

．
故答案為：1或

12

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了平行線的判定，及正方形的判定，及全等的判定及性質(zhì)．