Question

如圖，△ABC內接于半圓，AB為直徑，過點A 作直線MN，若∠MAC=∠ABC。
（1）求證：MN是半圓的切線；
（2）設D是的中點，連結BD交AC于G，過D作DE⊥AB于E，交AC于F，求證：FD=FG；
（3）在（2）的條件下，若△DFG的面積為4.5，且DG=3，GC=4，試求△BCG的面積。

Answer 1

（1）∵AB是直徑 ∴∠ACB=90°
∴∠CAB+∠ABC=90°
∵∠MAC=∠ABC
∴∠MAC+∠CAB=90°，
∴∠MAB=90°，
∴MN是半圓的切線
（2）∵D是弧AC的中點，
∴∠DBC=∠ABD，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°
∴∠CBG+∠CGB=90°
∵DE⊥AB，
∴∠FDG+∠ABD=90°
∵∠DBC=∠ABD，
∴∠FDG=∠CGB=∠FGD，
∴FD=FG
（3）過點F作FH⊥DG于H，
又∵DF=FG，DG=3， S△DFG=4.5，
∴HG=1.5， S△FGH=S△DFG=×4.5=
∵AB是直徑，FH⊥DG ，
∴∠C=∠FHG=90°
又∠HGF=∠CGB，
∴△FGH∽△BGC