Question

如圖，OC平分∠MON，點A在射線OC上，以點A為圓心，半徑為2的⊙A與OM相切與點B，連接BA并延長交⊙A于點D，交ON于點E．
（1）求證：ON是⊙A的切線；
（2）若∠MON=60°，求圖中陰影部分的面積．（結果保留π）

Answer 1

（1）證明：過點A作AF⊥ON于點F，
∵⊙A與OM相切與點B，
∴AB⊥OM，
∵OC平分∠MON，
∴AF=AB=2，
∴ON是⊙A的切線；

（2）解：∵∠MON=60°，AB⊥OM，
∴∠OEB=30°，
∴AF⊥ON，
∴∠FAE=60°，
在Rt△AEF中，tan∠FAE=，
∴AF=AF•tan60°=2，
∴S_陰影=S_△AEF-S_扇形ADF=AF•EF-×π×AF²=2-π．
分析：（1）首先過點A作AF⊥ON于點F，易證得AF=AB，即可得ON是⊙A的切線；
（2）由∠MON=60°，AB⊥OM，可求得AF的長，又由S_陰影=S_△AEF-S_扇形ADF，即可求得答案．
點評：此題考查了切線的判定與性質、扇形的面積以及三角函數的性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．