Question

已知：如圖，銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點O，且OB=OC．
（1）求證：△ABC是等腰三角形；
（2）判斷點O是否在∠BAC的角平分線上，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由OB=OC，即可求得∠OBC=∠OCB，又由，銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點O，根據三角形的內角和等于180°，即可證得△ABC是等腰三角形；
（2）首先連接AO并延長交BC于F，由AB=AC，OB=OC，即可證得AF是BC的垂直平分線，又由三線合一的性質，即可證得點O在∠BAC的角平分線上．
解答：（1）證明：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點O，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠BDC+∠DBC+∠ACB=180°，
∴180°-∠BEC-∠BCE=180°-∠BDC-∠DBC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；

（2）解：點O在∠BAC的角平分線上．
理由：連接AO并延長交BC于F，
在△AOB和△AOC中，

∴△AOB≌△AOC（SSS）．
∴∠BAF=∠CAF，
∴點O在∠BAC的角平分線上．
點評：此題考查了等腰三角形的性質與判定，以及垂直平分線的判定等知識．此題難度不大，注意等角對等邊與三線合一定理的應用．