Question

已知：如圖，銳角△ABC內接于⊙O，∠ABC=45°；點D是

BC

上一點，過點D的切線DE交AC的延長線于點E，且DE∥BC；連接AD、BD、BE，AD的垂線AF與DC的延長線交于點F．
（1）求證：△ABD∽△ADE；
（2）若AB=8cm，AE=6cm，求△DAF的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OD，根據切線的性質可以得到OD⊥DE，利用垂徑定理以及圓周角定理可以證得：∠BAD=∠EAD，然后利用平行線的性質，即可證得∠BDA=∠DEA，利用兩個角對應相等的兩個三角形相似即可證得；
（2）易證：△ADF為等腰直角三角形，利用三角形的面積公式求解．

解答：（1）證明：連接OD．
∵DE是⊙O的切線，
∴OD⊥DE．
又∵DE∥BC，
∴OD⊥BC．
∴

BD

=

CD

∴∠BAD=∠EAD
∵∠BDA=∠BCA，DE∥BC，
∴∠BDA=∠DEA
∴△ABD∽△ADE；

（2）解：由（1）得

AB

AD

=

AD

AE

，即AD²=AB•AE=8×6=48
由∠ABC=45°，AD⊥AF可推得△ADF為等腰直角三角形．
則S_△ADF=

1

2

AD²=

1

2

×48=24cm²．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，切線的性質定理，正確作出輔助線是關鍵．