Question

【題目】已知，如圖，在中，，，．動點從點出發，沿向點運動，動點從點出發，沿向點運動，如果動點以1，以2的速度同時出發，設運動時間為，解答下列問題：

（1）當__________時，；

（2）連接．

①當時，求線段的長；

②在運動過程中，的形狀不斷發生變化，它能否構成直角三角形？如果能則求出此時的值，如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）①，②能，當t為4.5或7.2時，△BPQ是直角三角形．

【解析】

（1）先求得AB的長，再設BP=t，AQ=2t，則BQ=18-2t，即可求得t的值；

（2）①作QM⊥BC于M，QN⊥AC于N，在Rt△PQM中，利用勾股定理即可求解；

②分兩種情況討論當PQ⊥BC和PQ⊥BA，利用直角三角形的性質解答即可．

（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=9 cm

∴AB=2 BC =18 cm，

由P、Q的運動速度可知：BP=t，AQ=2t，則BQ=18-2t，

根據題意：BP=BQ，即t=18-2t，

解得：t=6(s)；

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=9 cm．

∴AB=18 cm，AC==cm，

由P、Q的運動速度可知：BP=t，AQ=2t，

①當t=4時， BP=4，AQ=8，

作QM⊥BC于M，QN⊥AC于N，如答圖1，

∵，

∴四邊形CNQM為矩形，MC= QN，QM=CN，

∵∠A=30°，AQ=8，

∴QN=，，

∴PM=BC-BP-MC=9﹣4﹣4=1，

QM=CN=AC﹣AN=，

∴(cm)；

②能構成直角三角形，有以下兩種情況：

如答圖2，當PQ⊥BC時，即PQ//AC，

∴∠BQP=∠A=30°，

∴BQ=2BP=2t，

即AB=BQ+AQ=2t +2t =4t=18，

解得：t=4.5(s)；

如答圖3，當PQ⊥BA時，

∵∠A=30°，

∴∠B=60°，

∴∠BPQ=30°，

∴BP=2BQ=t，

∴BQ=0.5t，

即AB=AQ+BQ=2t+0.5t =2.5t=18，

解得：t=7.2(s)；

綜上所述，當t為4.5(s)或7.2(s)時，△BPQ是直角三角形．