Question

【題目】我們規定：有一組鄰邊相等,且這組鄰邊的夾角為的凸四邊形叫做“準箏形”。如圖1,四邊形ABCD中,若AB=AD,∠A=，則四邊形ABCD是“準箏形”。

(1)如圖2,CH是△ABC的高線,∠A=,∠ABC=，AB=2.求CH；

(2) 如圖3,四邊形ABCD中,BC=2,CD=4,AC=6,∠BCD=，且AD=BD，試判斷四邊形ABCD是不是“準箏形”，并說明理由。

小紅是這樣思考的：延長BC至點E，使CE=CD=4，連結DE，則△DCE是等邊三角形，再說明△ACD△BED就可以了。請根據小紅的思考完成本小題。

(3) 在(1)條件下，設D是△ABC所在平面內一點，當四邊形ABCD是“準箏形”時，請直接寫出四邊形ABCD的面積；

Answer 1

【答案】（1）（2）四邊形ABCD是“準箏形”，理由見解析；（3）

【解析】

（1）設BH=x，根據∠ABC=表示出CH，在根據∠A=列出方程求解即可；（2）延長BC至點E，使CE=CD=4，連結DE，則△DCE是等邊三角形，再證明△ACD≌△BED得到△ABD是等邊三角形，即可證明四邊形ABCD是“準箏形”；（3）在(1)條件下，D是△ABC所在平面內一點，當四邊形ABCD是“準箏形”時，分情況討論①AB=AD=2，∠BAD=60°，②BC=BD=2+2,∠BCD=60°，③AD=CD=AC=HC=3+，∠ADC=60°，分別求出四邊形ABCD的面積即可.

(1)設BH=x，

∵∠ABC=120°，CH是△ABC的高線，

∴∠BCH=30°，

∴HC=，

∵∠A=45°，

∴HA=HC，

∵AB=2，

∴=2+x，

解得：x=+1，

∴HC==3+；

(2)四邊形ABCD是“準箏形”，

理由：如圖所示，延長BC至點E，使CE=CD=4，連結DE，

∵∠BCD=120°，

∴∠DCE=60°，

∴△DCE是等邊三角形，

∴ED=CD=4，∠CDE=60°，

∵BC=2，CE=CD=4，AC=6，

∴AC=EB，

在△ACD和△BED中，

∴△ACD≌△BED(SSS)，

∴∠ADC=∠BDE，

∴∠ADB=∠CDE=60°，

∴△ABD是等邊三角形，

∴AB=AD，∠BAD=60°，

∴四邊形ABCD是“準箏形”；

(3在(1)條件下，D是△ABC所在平面內一點，當四邊形ABCD是“準箏形”時，分情況討論，分別求出四邊形ABCD的面積：

①如下圖AB=AD=2，∠BAD=60°，

作CG垂直BD的延長線于點G，則BD=2，

易得：∠CBG=60°=∠CBH，

在△CBG和△CBH中

∴△CBG≌△CBH(AAS)，

∴GC=HC=3+，

作AK⊥BD于K，則易得：AK=，

∴S△ABD=×2×=，S△CBD=×2×(3+)=3+，

∴四邊形ABCD的面積=3+2；

②如下圖BC=BD=2+2,∠BCD=60°，

作CG垂直BD的延長線于點G，則BD=2+2，

易得：CG=3+，AK=，

∴S△BCD=×(3+)(2+2)=4+6，

S△ABD=××(2+2)=3+，

∴四邊形ABCD的面積=9+5；

③如下圖AD=CD=AC=HC=3+，∠ADC=60°，

作DM⊥AC于M，

易得：DM= (3+)= (+)，

∴S△ABC=×2×(3+)=3+，

S△ADC=×(3+)× (+)=6+9，

∴四邊形ABCD的面積=12+7，

綜上所述，四邊形ABCD的面積為