Question

【題目】如圖①，已知點D在AB上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且M為EC的中點．

（1）連接DM并延長交BC于N，求證：CN＝AD；

（2）求證：△BMD為等腰直角三角形；

（3）將△ADE繞點A逆時針旋轉90°時（如圖②所示位置），其它條件不變，△BMD為等腰直角三角形的結論是否仍成立？若成立，請證明：若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）仍成立，見解析；

【解析】

（1）由∠ABC=∠ADE=90°可得DE∥BC，再根據平行線的性質，推出∠DEM=∠MCB，根據ASA推出△EMD≌△CMN，證出CN=ED，因為AD=DE，即可得到CN=AD；
（2）由（1）可知CN=AD，DM=MN，再由AB=AC，可得BD=BN，從而可得△DBN是等腰直角三角形，且BM是底邊DN上的中線，再利用等腰三角形的三線合一的性質和直角三角形的性質即可得到△BMD為等腰直角三角形；
（3）作CN∥DE交DM的延長線于N，連接BN，根據平行線的性質求出∠E=∠NCM，根據ASA證△DBA≌△NBC，推出△DBN是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質即可推出△BMD為等腰直角三角形．

（1）證明：如圖①，

∵∠EDA=∠ABC=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEM=∠MCB，
在△EMD和△CMN中，
，
∴△EMD≌△CMN（ASA），
∴CN=DE，
∵AD=DE，
∴CN=AD；
（2）證明：由（1）得CN=AD，△EMD≌△CMN，
∴DM=MN，
∵BA=BC，CN=AD，
∴BD=BN，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底邊的中線，
∴BM⊥DM，BM=DN=DM，
∴△BMD為等腰直角三角形；
（3）答：△BMD為等腰直角三角形的結論仍成立，
證明：如圖②，作CN∥DE交DM的延長線于N，連接BN，

∴∠E=∠MCN=45°，
∵∠DME=∠NMC，EM=CM，
∴△EMD≌△CMN（ASA），
∴CN=DE=DA，MN=MD，
又∵∠DAB=180°-∠DAE-∠BAC=90°，
∠BCN=∠BCM+∠NCM=45°+45°=90°，
∴∠DAB=∠NCB，
在△DBA和△NBC中，
，
∴△DBA≌△NBC（SAS），
∴∠DBA=∠NBC，DB=BN，
∴∠DBN=∠ABC=90°，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底邊的中線，
∴BM⊥DM，∠DBM=∠DBN=45°=∠BDM，
∴MB=MD，

∴△BMD為等腰直角三角形．