Question

已知拋物線L：y＝ax²＋bx＋c(其中a、b、c都不等于0)，它的頂點P的坐標是(－，)，與y軸的交點是M(0，c)．我們稱以M為頂點，對稱軸是y軸且過點P的拋物線為拋物線L的伴隨拋物線，直線PM為L的伴隨直線．

(1)請直接寫出拋物線y＝2x²－4x＋1的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式：

伴隨拋物線的解析式________,

伴隨直線的解析式________；

(2)若一條拋物線的伴隨拋物線和伴隨直線分別是y＝－x²－3和y＝－x－3，則這條拋物線的解析式是________；

(3)求拋物線L：y＝ax²＋bx＋c(其中a、b、c都不等于0)的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式；

(4)若拋物線L與x軸交于A(x₁，0)、B(x₂，0)兩點，x₂＞x₁＞0，它的伴隨拋物線與x軸交于C、D兩點，且AB＝CD．請求出a、b、c應滿足的條件．

Answer 1

答案：
解析：

(1)y＝－2x2＋1，y＝－2x＋1; 　　(2)y＝x2－2x－3; 　　(3)∵伴隨拋物線的頂點是(0，c)，∴設它的解析式為y＝m(x－0)2＋c(m≠0)，∵此拋物線過P(－，)，∴＝m·(－)2＋c，解得m＝－a，∴伴隨拋物線解析式為y＝－ax2＋c，設伴隨直線解析式為y＝kx＋c(k≠0)，∵P(－，)在此直線上，∴＝－k＋c，∴k＝，∴伴隨直線解析式為y＝x＋c; 　　(4)∵拋物線L與x軸有兩交點，∴△1＝4ac－b2＞0，∴b2＞4ac．∵x2＞x1＞0，∴x1＋x2＝－＞0，x1x2＝＞0，∴ab＜0，ac＞0．對于伴隨拋物線y＝－ac2＋c，有△2＝02－(－4ac)＝4ac＝＞0．由－ax2＋c＝0，得x＝±，∴C(－，0)，D(，0)，∴CD＝2．又AB＝x2－x1＝＝＝＝，由AB＝CD，得＝2，整理得b2＝8ac．綜合b2＞4ac，ab＜0，ac＞0，b2＝8ac，得a、b、c滿足的條件為b2＝8ac且ab＜0．(或b2＝8ac且bc＜0)