Question

已知：關于x的方程 （k-1）x²-2kx+k+2=0 有解．
（1）求k的取值范圍；
（2）若x₁，x₂是方程的兩個不等根，且滿足（k-1）x₁²+2kx₂+k+2=4x₁x₂．求此時K的值．

Answer 1

分析：（1）由方程有解，得到根的判別式的值大于等于0，列出關于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范圍；
（2）利用根與系數的關系表示出兩根之和與兩根之積，代入已知等式中，得到關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答：（1）當k=1時，方程為一元一次方程-2x+3=0，其有一個解．
當k≠1時，方程為一元二次方程，其有兩個相等或不相等的實數根，
△=（-2k）²-4（k-1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1．
綜上所述，k的取值范圍是k≤2．
（2）∵x₁≠x₂，由（1）知k＜2且k≠1，
由題意得：（k-1）x₁²+（k+2）=2kx₁（*），
將（*）代入（k-1）x₁²+2kx₂+k+2=4x₁x₂中得：2k（x₁+x₂）=4x₁x₂．
又∵x₁+x₂=

2k

k-1

，x₁x₂=

k+2

k-1

，
∴2k•

2k

k-1

=4•

k+2

k-1

．
解得：k₁=-1，k₂=2（不合題意，舍去），
則所求k值為-1．

點評：此題考查了一元二次方程根的判別式，以及根與系數的關系，根的判別式的值大于0，方程有兩個不相等的實數根；根的判別式的值等于0，方程有兩個相等的實數根；根的判別式的值小于0，方程沒有實數根．熟練掌握根與系數的關系是解本題第二問的關鍵．