Question

【題目】如圖1，折疊矩形紙片ABCD，具體操作：①點E為AD邊上一點（不與點A，D重合），把△ABE沿BE所在的直線折疊，A點的對稱點為F點；②過點E對折∠DEF，折痕EG所在的直線交DC于點G，D點的對稱點為H點．

（1）求證：△ABE∽△DEG．

（2）若AB=3，BC=5

①點E在移動的過程中，求DG的最大值

②如圖2，若點C恰在直線EF上，連接DH，求線段DH的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①時，有最大值；②

【解析】

（1）根據兩角對應相等兩三角形相似證明即可；

（2）①設AE=x，證明△ABE∽△DEG，推出，可以得到，利用二次函數的性質求解即可；
②如圖2中，連接DH．解直角三角形求出AE，DE，DG，EG，由翻折的性質可知EG垂直平分線段DH，利用面積法可得．

（1）由折疊可知，

∵

∴

∵矩形

∴

∴

∴

（2）①設

∵

（2）①設

∵

∴

∴

∴

∵,

∴時，有最大值

②由折疊可知，，

∵

∴

∴

∴

∵點在直線上

∴，

∴

∴

∴

∴

由折疊可知

∴