Question

【題目】二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)圖象如圖所示，下列結(jié)論：①abc>0；②2a＋b＝0；③當(dāng)m≠1時(shí)，a＋b>am2＋bm；④a－b＋c>0；⑤若a＋bx1＝a＋bx2且x1≠x2，則x1＋x2＝2，其中正確的有( )

A. ①②③ B. ②④ C. ②⑤ D. ②③⑤

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據(jù)拋物線(xiàn)開(kāi)口方向得a＜0，由拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x1，得到b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，由拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)位置得到c＞0，所以abc＜0；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)有最大值a+b+c，則當(dāng)m≠1時(shí)，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm；根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性得到拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在（﹣1，0）的右側(cè)，則當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＜0，所以a﹣b+c＜0；把ax12+bx1＝ax22+bx2先移項(xiàng)，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，則a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2，然后把b＝﹣2a代入計(jì)算得到x1+x2＝2．

∵拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，∴a＜0．

∵拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x1，∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以②正確；

∵拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①錯(cuò)誤；

∵拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝1，∴函數(shù)的最大值為a+b+c，∴當(dāng)m≠1時(shí)，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③正確；

∵拋物線(xiàn)與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在（3，0）的左側(cè)，而對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝1，∴拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在（﹣1，0）的右側(cè)，∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以④錯(cuò)誤；

∵ax12+bx1＝ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2．

∵b＝﹣2a，∴x1+x2＝2，所以⑤正確．

故選D．